Que $f:[0,\infty)\to \mathbb R$ ser continua y estrictamente decreciente función tal que: $\lim_{x\to \infty}f(x)=0$

Question

Que $f:[0,\infty)\to \mathbb R$ ser continua y estrictamente decreciente función tal que: $\lim_{x\to \infty}f(x)=0$ $$\int_0^\infty \frac{f(x)-f(x+1)}{f(x)}$ de probar $ Diverges.

No puedo probar. por favor ayuda.

Answer 1

Para cualquier $n\in\mathbb{N}^+$, que $$E_n = \left\{x\in\mathbb{R}^+ : \frac{1}{n+1}\,f(x) \leq f(x+1) \leq \frac{1}{n}\, f(x)\right\}. $ $ $f$ es decreciente y positiva, $\bigcup_{n\geq 1}E_n = \mathbb{R}^+$. Tenemos: %#% $ #% por lo tanto, para asegurar la convergencia de la integral dada ambos las siguientes restricciones se tiene que mantener: $$ \left(1-\frac{1}{n+1}\right)\mu(E_n)\geq\int_{E_n}\frac{f(x)-f(x+1)}{f(x)}\,dx \geq \left(1-\frac{1}{n}\right) \mu(E_n)$ y $\sum_{n\geq 1}\mu(E_n)=+\infty$. Por el criterio de comparación asintótica de series no negativo, estas restricciones no son compatibles, por lo tanto, la integral dada es divergente.