Grandes potencias del seno aparecen gauss--¿por qué?

Question

Como parte de la aproximación de una integral, he notado que a $\sin^k(x), x\in[0, \pi]$ parecen casi idénticas a $\exp\left(-\frac{k}{2}(x-\frac{\pi}{2})^2\right)$ una vez $k$ es lo suficientemente grande (en la práctica, las dos ecuaciones son visualmente idénticos para $k\geq 15$). Como ejemplo, véase esta imagen de las dos funciones para $k=10$:

¿Alguien puede explicar por qué estas funciones son prácticamente idénticos?

Edit: debo mencionar que la expresión $\exp\left(-\frac{k}{2}(x-\frac{\pi}{2})^2\right)$ es derivado por un 2º orden a la expansión de Taylor de $\log\sin^k(x)$ modo $x_0 = \frac{\pi}{2}$, es decir, una aproximación de Laplace.

Answer 1

Es más fácil cambiar $x$ $\pi/2$ y establecer la propiedad para el coseno.

De Taylor y la definición de límite de la exponencial, pequeño $x$

$$\cos^kx\approx\left(1-\frac{x^2}2\right)^k=\left(1-\frac{kx^2}{2k}\right)^k\approx e^{-kx^2/2}.$$

La trama muestra buena convergencia de $(1-t/k)^k$ $e^{-t}$.

Answer 2

Este es demasiado largo para un comentario.

Semiclásica hizo un muy buen comentario.

Permita la utilización de la serie de Taylor alrededor de $x=\frac \pi 2$ $$\sin(x)=1-\frac{1}{2} \left(x-\frac{\pi }{2}\right)^2+\frac{1}{24} \left(x-\frac{\pi }{2}\right)^4+O\left(\left(x-\frac{\pi }{2}\right)^6\right)$$ $$\sin^k(x)=1-\frac{1}{2} k \left(x-\frac{\pi }{2}\right)^2+\frac{1}{24} k (3 k-2) \left(x-\frac{\pi }{2}\right)^4+O\left(\left(x-\frac{\pi }{2}\right)^6\right)$$ On the other hand $$e^{-\frac{1}{2} k \left(x-\frac{\pi }{2}\right)^2}=1-\frac{1}{2} k \left(x-\frac{\pi }{2}\right)^2+\frac{1}{8} k^2 \left(x-\frac{\pi }{2}\right)^4+O\left(\left(x-\frac{\pi }{2}\right)^6\right)$$ Computing the difference $$\sin^k(x)-e^{-\frac{1}{2} k \left(x-\frac{\pi }{2}\right)^2}=-\frac{1}{12} k \left(x-\frac{\pi }{2}\right)^4+O\left(\left(x-\frac{\pi }{2}\right)^6\right)$$ AL menos, están muy cercanos en el área alrededor de la máxima.

Answer 3

Otra observación es demasiado largo para un comentario:

En realidad, no es que el bien de una aproximación si se mira la relación de $f_k(x) = \sin^k(x)$ al valor de la $g_k(x) = \exp ( - k (x- \pi/2)^2)$ para los distintos valores de $k$. Aquí hay un par de puntos:

k = 1:

k = 5:

k = 25:

k = 125:

Esta tendencia parece continuar como $k$ aumenta.

Answer 4

Otra observación es demasiado largo para un comentario:

Michael Seifert observa que la calidad de la coincidencia en la relación de la desviación de las dos funciones a la mano empeora como $k$ es mayor. Sin embargo, la desviación absoluta no mejorar con el aumento de la $k$, como señaló OP.

Aquí MAD es la media de la desviación absoluta entre las dos funciones, mientras que MRAD es la media relativa desviación absoluta, calcula en cada punto de referencia para el valor de la OP de Gauss-tipo de función. Ambos fueron calculados sobre el OP $x\in [0,\pi]$ dominio sobre una rejilla con un espaciado $\Delta x=\pi/100$.

Así, la "calidad de partido" de las dos funciones con el aumento de k depende enteramente de si el relativo o absoluto de la desviación es más relevante para la aplicación a mano.

Answer 5

Una cosa que oscurece el punto de este ejercicio es que como $k$ aumenta, la curva Gaussiana $y = \exp\left(-\frac k2(x-\frac\pi2)^2\right)$ desarrolla un muy estrecho pico en la curva cerca de $x=\frac\pi2$ rodeado por las colas que son casi cero. Mientras que los valores de $\sin^x(x)$ están lo suficientemente cerca como para $\exp\left(-\frac k2(x-\frac\pi2)^2\right)$ muy cerca de la estrecha cima del pico, la pendiente a lo largo de los lados del pico ($y$ valores entre el $0.2$ $0.9$ u otro tipo de límites) vuelve tan fuerte que podría haber un error vertical de varios por ciento y los gráficos parece muy de cerca debido a la pequeña distancia horizontal al punto más cercano de la otra curva.

Como resulta, la aproximación es bastante buena, pero es difícil estar seguro de que con sólo mirar estos gráficos.

Creo que tenemos una mejor comparación controlada cuando comparamos todas las aproximaciones a la misma Gaussiano.

Para hacer las cosas un poco más sencillo, te sugiero primer desplazamiento de la gráfica a la izquierda de modo que se centra en la línea de $x=0$ en lugar de $x=\frac\pi2.$ Después de este cambio, estaríamos comparando $\cos^x(x)$ con $\exp\left(-\frac k2 x^2\right).$

Siguiente, ampliar el gráfico en la dirección horizontal por un factor de de $\sqrt k.$ es decir, sustituimos $\frac x{\sqrt k}$ $x.$ La función de Gauss, a continuación, se $\exp\left(-\frac12 x^2\right).$ Por lo que ahora será la comparación de la secuencia de funciones sinusoidales $h_k(x) = \cos^k\left(\frac{x}{\sqrt k}\right)$ con el Gauss $f(x) = \exp\left(-\frac12 x^2\right).$

Trazado tanto en $f$ $h_k$ en el mismo gráfico, es evidente que $h_k$ aproxima $f$ razonablemente bien en un amplio intervalo de moderadamente grandes valores de $k$. (Para cualquier particular $k,$ de curso $h_k$ va a tomar el valor de $1$ a una infinidad de valores de $x,$ pero como $k$ aumenta la brecha entre estos valores de $x$ se incrementa). Por otra parte, si tenemos en cuenta que el error relativo $\frac{h_k}{f} - 1,$ visualmente es cercana a cero para $-\frac12 < x < \frac12$ incluso para $k=1,$ y el "plano" de parte de la curva de $\frac{h_k}{f} - 1$ se ensancha como $k$ aumenta.

Por ejemplo, considere este Wofram Alfa gráfico. Se muestra que el error de $h_{100}$ en relación al $f$ es menos de la mitad de un por ciento al $-1.5 < x < 1.5.$

Tomando una pista de Semiclásica y Claude Leibovici, consideremos la serie de Taylor de estas funciones. La serie de Taylor de $\exp\left(-\frac12 x^2\right)$ es $$ f(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} - \frac{x^6}{48} + \mathcal O(x^7). $$

La serie de Taylor de $\cos^k\left(\frac{x}{\sqrt k}\right)$ es $$ h_k(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \left(\frac18 - \frac{1}{12 k}\right) x^4 - \left(\frac1{48} - \frac1{24k} + \frac1{45 km^2}\right) x^6 + \mathcal O(x^7). $$

Es claro que para cualquier $x,$ al menos los dos primeros términos de la diferencia $$ f(x) - h_k(x) = \frac{1}{12 k} x^4 - \left(\frac1{24k} - \frac1{45 km^2}\right) x^6 + \mathcal O(x^7) $$ desaparecer como $k \to\infty$; parece que los otros términos a desaparecer.