¿Cómo es que el trabajo realizado para empujar un planeta a más de 1m con 1N es el mismo que para empujar una pluma a más de 1m con 1N?

Question

Supongamos que no hay otras fuerzas actuando y que el cohete+combustible descrito no pesa nada. Además, por cohete me refiero a motor/impulsor, no a transbordador espacial.

Supongamos que tenemos un planeta, digamos de masa 1.000.000.000 kg y lo empujamos con un cohete que ejerce una fuerza de 1 N. Esto acelerará el planeta en $10^{-9}\, m/s^2$ .

Entonces, supongamos que tenemos una pluma de masa 0,005 kg y la empujamos con el mismo cohete que ejerce una fuerza de 1 N, acelerándola en $200\, m/s^2$ .

De ello se deduce que la pluma atravesará una distancia de 1 m mucho más rápido que el planeta y, por tanto, gastará mucho menos combustible de cohete para hacerlo. Por lo tanto, la energía utilizada para propulsar el planeta debe ser mucho mayor que la energía utilizada para propulsar la pluma.

Pero, trabajo realizado = fuerza × distancia, $1 \times 1 = 1\, J$ tanto para el planeta como para la pluma. Creo que he entendido algo mal. ¿Cómo es posible?

Answer 1

Por lo tanto, la energía utilizada para impulsar el planeta debe ser mucho mayor que la energía utilizada para impulsar la pluma.

Sí. Pero eso es porque el cohete es algo especial. Vea a continuación.

De ello se deduce que la pluma atravesará una distancia de 1 metro mucho más rápido que el planeta [...]

Trabajo es no sobre la duración. No depende del tiempo ni de la velocidad. Empujar con 1 N y mover el planeta 1 m requiere el mismo trabajo por parte de la fuerza independientemente de que se tarde 1 hora o 1 año o 1000 años.

Esto puede no parecer muy intuitivo al principio. Si se tarda mucho, ¿no se gasta entonces más energía al tener que mantener la fuerza durante más tiempo?

La respuesta es no . Piensa en una mesa que sostiene una manzana con su fuerza normal. La mesa no gasta energía alguna para mantener esta fuerza. Puede hacerlo eternamente. La fuerza no requiere energía, salvo en determinadas "máquinas" especiales.

Y esa es la cuestión. La raíz de tu confusión, si estoy en lo cierto. Un motor de propulsión de cohetes (la mayoría de los tipos de motores, para ser justos) es un tipo de máquina de este tipo. Se necesita energía para crear la fuerza que ejerce. Se necesita combustible. El combustible se quema a un ritmo nunca nulo, por lo que el consumo de energía de un cohete hace dependen del tiempo.

El cuerpo humano con sus fibras musculares que se contraen y expanden es un tipo de máquina también . Al final te cansarás de empujar, pero el muro no.

Al pensar en la fórmula de trabajo $W=\int\vec F\cdot d\vec x$ Me gusta comparar una pared con un globo (esencialmente lo que estás haciendo, pero en una configuración un poco más simple):

• Empujar en una pared no hace ninguna diferencia incluso cuando se empuja con fuerza. Nada se mueve. No se hace ningún trabajo, sólo se pierde el tiempo.
• Empujar un globo es fácil: se mueve lejos. Pero es tan fácil que nadie diría que has hecho un esfuerzo significativo. No diríamos que has hecho un esfuerzo significativo para moverlo.

El primer ejemplo es su situación.

Answer 2

Analicemos de cerca todo el sistema: Consiste en el Planeta / Pluma (el objeto acelerado), el motor / propulsor, y (y esto es importante) las partículas aceleradas por el propulsor en dirección inversa a la fuerza de empuje que actúa sobre el planeta. Su motor sin masa, sea cual sea su funcionamiento, utiliza la energía del combustible sin masa para acelerar a) el planeta/pluma, y b) algunas otras partículas (normalmente el combustible quemado) para satisfacer la conservación del momento. La energía total del sistema viene dada por: $$ E = E_{planet} + E_{burned fuel} + E_{fuel} $$ El impulso total viene dado por $$ P = P_{planet} + P_{burned fuel} $$

Para abreviar: en su camino de aceleración de un metro, la energía que obtienen el planeta y la pluma es la misma. Sin embargo, esto no es cierto para el impulso: El planeta llevará más momento --> Habrá más "partículas de combustible quemado" llevando más momento, y por lo tanto también llevando más energía. Y esa es la energía que falta en tu ecuación. Toda la energía del sistema se conservará.

Para verlo con más detalle: La fuerza es la derivada temporal del momento. El propulsor que empuja el planeta/pluma con 1 N significa que cada segundo se genera una "partícula quemada" que vuela hacia atrás y que transporta 1 kg. $\frac{m}{s}$ impulso. Dado que el planeta tarda (como has notado) más tiempo en moverse 1 m, habrá más partículas aceleradas hacia atrás. Llevan la mayor parte de la energía que proporciona el combustible.

Answer 3

En realidad se trata de un concepto muy intuitivo disfrazado. Se necesita mucho más tiempo para proporcionar la misma energía cinética a un objeto masivo que a un objeto ligero porque la energía cinética es proporcional a $v^2$ y los objetos masivos son resistentes al movimiento.

Obviamente, un motor de cohete gastará mucha más energía en la primera tarea debido al poco peso del combustible. Cuanto más pesado sea el combustible, menos energía ganará éste. Si la masa de combustible liberada por segundo es la masa de un planeta, entonces un total de sólo $2J$ se libera para la tarea. Si el peso del combustible liberado por segundo es el peso de la pluma, entonces $2J$ se libera para mover la pluma, pero se libera mucho más para mover el planeta. Cualitativamente hablando, no estamos "haciendo trampa" aquí porque estamos "cambiando" energía por tiempo.

Piensa en cómo largo que se necesitaría para mover un planeta por $1$ medidor utilizando $1$ Newton: ( $\sqrt{2M}$ ) donde $M$ ¡es la masa de un planeta! Utiliza las ecuaciones de aceleración constante para deducirlo. Alternativamente, utiliza el cálculo o la conservación de la energía en las colisiones para obtener una expresión general.

EDITAR

Sin embargo, esto me lleva a otra pregunta: ¿tener un combustible más denso, en el sentido literal, mejora la eficiencia de un motor? Por supuesto, la advertencia es que hace que el vehículo sea más pesado. Pero en casos como éste, en el que hay que mover una gran masa en una pequeña distancia, ¿es una idea útil?

Answer 4

El trabajo realizado sobre el planeta (o la pluma) es igual al cambio de KE del planeta (o de la pluma). Este es el teorema trabajo-energía. Si parten del reposo, ambos tendrán la misma KE después de 1 m de empuje. El planeta tendrá una masa enorme y una velocidad muy pequeña. La pluma una masa pequeña y una velocidad grande. La KE será la misma. La forma de "producir" la fuerza que hace el trabajo no entra en el teorema trabajo-energía. Puedes usar más o menos energía dependiendo de tu "máquina", el sistema que hace el trabajo. Pero esto no afecta al cambio de KE del sistema sobre el que trabaja tu máquina.

Answer 5

Puede que te parezca un poco simplista, pero me preguntaba si tal vez te ayude si resalto algunos aspectos básicos que tal vez ya conozcas...
que el trabajo se realiza para cambiar la velocidad (acelerar), y un objeto continúa a velocidad constante a menos que se le realice un trabajo.
El trabajo alcanza una velocidad, no una distancia. Si un objeto tiene una velocidad no nula y no hay fuerzas externas que interfieran, entonces seguirá viajando hasta que finalmente alcanza una gran distancia.
En comparación con el movimiento sujeto a la fricción y la resistencia del aire que solemos experimentar en la tierra, el movimiento en el vacío puede parecer intuitivamente "un poco gratuito". De hecho, es más barato.