Pregunta sobre la construcción de Mukai flop

Question

Sea X un simpléctica complejo colector de dimensión $2n $, es decir no existe un no degenerados holomorphic 2-formulario de $\sigma $ tal que $ H^0 (X,\Omega^2)=\mathbb {C}\cdot\sigma $. Supongamos que existe una submanifold $ P\subset X $ tal que $P\cong\mathbb {P}^n $. Deje $\tilde {X} $ ser el golpe de X a lo largo de P. el Uso de Euler de la secuencia y la estructura simpléctica $\sigma $, podemos ver que la proyección de la excepcional divisor $ D=\mathbb {P}(\mathcal {N}_{P/X}) $ $\mathbb {P}^n $ es isomorfo a la proyectiva bundle $\mathbb {P}(\Omega_P) $. Por lo tanto podemos identificar con la incidencia de la variedad $$ \{(x, H)\,|\, x\in H\}\subset\mathbb {P}^n\times(\mathbb {P}^n)^*.$$ Así, podemos proyectar en el doble espacio proyectivo $(\mathbb {P}^n)^*$ y definir un golpe hacia abajo $\tilde {X}\to X'$. El Mukai flop es entonces la birational mapa de $ X---> X'$ obtenido por componer el golpe y el golpe hacia abajo.

Mi pregunta es acerca de la existencia de la purga: ¿por qué existe? Cuales son las hipótesis, se debe comprobar que decir que la contracción es un golpe hacia abajo? De referencia son muy bienvenidos!

Muchas gracias!

Answer 1

Gracias a Ben comentario, he encontrado la siguiente solución, por favor dejar un comentario si hay algunas imprecisiones. El Corolario del Teorema 2' (en la parte inferior de la página 502) en el documento se sugiere por Ben puede ser reformulada de la siguiente manera:

deje $X$ ser un complejo colector, $A$ un complejo submanifold de codimension $1$ $X$ $f:A\to A'$ un haz de fibras de más de un complejo colector de $A'$ con cada fibra $F$ conectado. Si tanto $\;\mathcal{N}^*_{A/X}|_F\;$ $\;\left(\mathcal{N}_{A/X}|_F\otimes K_F\right)^*\;$ son amplias (aquí $K_F$ si la canónica de $F$), entonces existe un único (hasta el isomorfismo) complejo colector de $X'$ y una adecuada surjective mapa de $f':X\to X'$ tal manera que el par $(X',f')$ es el golpe de $X$ a lo largo de $f$. En particular, si $F\cong\mathbb{P}^n$, entonces sólo la amplitud de $\;\mathcal{N}^*_{A/X}|_F\;$ puede ser asumida.

Usando la notación de la cuestión, debemos aplicar este resultado con $X=\tilde{X}$, $A=D$ y $A'=(\mathbb{P}^n)^*$. Desde $D$ es un divisor, es de codimension $1$ y podemos utilizar la contigüidad fórmula: $$ \mathcal{N}^*_{A/X}=\mathcal{O}_A(-A). $$ Cuando restringimos a $F=\mathbb{P}^n$, obtenemos $\:\mathcal{N}^*_{A/X}|_F=\mathcal{O}(-1)$, por lo que hemos hecho.