Ejercicio de la introducción informal a la teoría de los topos de Leinster

Question

Perdonen la pregunta básica (¡y la tipografía!) Soy relativamente novato en lo que respecta a la teoría de las categorías, pero recientemente he decidido enseñarme al menos los rudimentos de las topos. Después de haberme topado con el excelente documento introductorio de Tom Leinster, estoy entendiendo la mayoría de los conceptos, pero todavía estoy un poco perdido en la prueba de la teoría de categorías, y he estado luchando con el siguiente ejercicio (en la página 4 de el papel )

Dejemos que $\mathcal{E}$ sea una categoría y que $t: T \to \Omega$ ser un mono en $\mathcal{E}$ . Supongamos que para cada mono $ m: A \to X$ , $X$ en $\mathcal{E}$ hay un mapa único $\chi :X \to \Omega$ tal que existe un cuadrado de retroceso

Entonces $T$ es terminal en $\mathcal{E}$ .

Está bastante claro que la singularidad del mapa $f: A \to T$ va a ser una consecuencia de la unicidad del mapa garantizada por la propiedad universal de los pullbacks- quizás tomando el otro mapa $m': A \to X$ y un mapa $g:A \to T$ y demostrando a partir de la propiedad universal que $f=g$ pero no puedo deshacerme de la dependencia de $m'$ . ¿Hay otros trucos para jugar? Tal vez, ¿se puede establecer $X=A$ y $m=\operatorname{id}_A$ ?

Answer 1

Si toma $m = \text{id}_A$ y dos mapas $\phi:A \to T$ y $\phi':A \to T$ deberías ser capaz de deducir que $$t \phi' = t \phi$$

Desde $t$ es un monomorfismo concluimos que $\phi' = \phi$ y por lo tanto $T$ es un objeto terminal en $\mathcal{E}$

Answer 2

Veo que ya has resuelto el ejercicio, pero lo siguiente ilustra que tu suposición original ya estaba en el camino correcto:

Supongamos que $f,g: X \to T$ son dos mapas. Considere el siguiente diagrama: $$ \matrix{ X & \mathop{\longrightarrow}\limits^f & T & =\!= & T \cr \big\Vert & & \big\Vert & &{\ } \big\downarrow {\scriptstyle t} \cr X & \mathop{\longrightarrow}\limits_f & T & \mathop{\longrightarrow}\limits_t & \Omega } $$ Convénzase de que los dos cuadrados y, por tanto, el rectángulo exterior es un de un retroceso. Por supuesto, el hecho de que lo vea inmediatamente o no dependerá de sus conocimientos actuales.

En particular, el rectángulo exterior es un pullback como en la definición para el caso especial $A=X$ y $m=id_X: X\to X$ . El compuesto $t\circ f: X\to\Omega$ desempeña el papel de $ch: X\to \Omega$ . Ahora construye el diagrama anterior con $g$ en lugar de $f$ y comparar los resultados.