Pido disculpas de antemano si esta es una pregunta extremadamente fácil, tengo una experiencia muy limitada en la demostración de declaraciones de convexidad. Además, la razón por la que elijo un ejemplo tan sencillo antes de abordar otros más difíciles es que, si no puedo demostrar éste, entonces no tengo ninguna esperanza de demostrar enunciados de convexidad más difíciles.
Mi objetivo era mostrar que la simple $f(x) = x^2$ era convexo usando sólo la definición (tomar la segunda derivada y mostrar que es positiva NO es el enfoque que estoy buscando).
Recordemos la definición de función convexa:
$f$ se llama convexo si: $$\forall x_1, x_2 \in X, \forall t \in [0, 1]: \qquad f(tx_1+(1-t)x_2)\leq t f(x_1)+(1-t)f(x_2).$$
Por lo tanto, decidí aplicar ambos lados de la definición y luego compararlos:
$$(t x_1 + (1-t) x_2)^2 = t^2x_1^2+2x_1x_2t(1-t)+(1-t)^2x_2^2$$
y quería compararlo con:
$$t x_1^2+(1-t)x_2^2$$
Estaba un poco atascado porque no sabía cómo demostrar que la desigualdad es realmente cierta. Intuitivamente tiene sentido porque $t \leq 1$ y su cuadrado es más pequeño y por lo tanto $t^2x_1^2 \leq t x_1^2$ de manera similar, $t^2x_2^2 \leq t x_2^2$ . Sin embargo, no estaba claro qué hacía el término cruzado. ¿Cómo sé que no se sobrepasa y hace que la desigualdad sea falsa?
Gracias por la paciencia de todos.
