expectativa de $ \left(\sum_{i=1}^n {x_i} \right)^2 $

Question

Si $x_i$ es exponencialmente distribuido $(i=1,...,n)$ % parámetro $\lambda$y %#% de #% son mutuamente independientes, cuál es la expectativa de

$x_i$

¿en términos de $\left(\sum_{i=1}^n {x_i} \right)^2$ y $n$ y posiblemente otras constantes?

Nota: Esta pregunta ha recibido una respuesta estadística en http://stats.stackexchange.com/q/4959/2148. Los lectores también llevaría un vistazo.

Answer 1

En lo que sigue, $x_j$ se asumen para ser independiente.

$$ E[x_0^2] = \int_0^{\infty} \lambda t^2 e^{-\lambda t} dt = \frac{2}{\lambda^2} $$

$$ E[x_0 x_1] = \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} \lambda^2 t_0 t_1 e^{-\lambda t_0} e^{-\lambda t_1 } dt_0 dt_1 = \frac{1}{\lambda^2} $$

$$ E[ (\sum_{j=0}^{n-1} x_j)^2 ] = n E[ x_0^2] + n(n-1) E[x_0 x_1] = \frac{ n^2 + n }{ \lambda^2 } $$