Demostrar mediante integración de contorno que $\int_0^\infty \frac{\log x}{x^3-1}\operatorname d\!x=\frac{4\pi^2}{27}$

Question

Demostrar mediante integración de contorno que $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\log x}{x^3-1}\operatorname d\!x=\frac{4\pi^2}{27}$

Estoy en una pérdida en la que contorno escoger y cómo iniciar este problema. He estado intentando que el sector con ángulo $2\pi/3$ a trabajar con una protuberancia alrededor del poste en $e^{i2\pi/3}$ y el origen, pero me estoy poniendo 5 o 6 diferentes integrales y no está realmente recibiendo me en cualquier lugar.

Answer 1

La manera más fácil y, sin duda más general es calcular $$PV\int_0^{\infty} dx \frac{x^a}{1-x^b},$$ and then take the derivative w.r.t. $ a$ del resultado. Para hacer la integral primera, usar un sector circular '(contorno de la rebanada de la pizza del).