Densidad asintótica de potencias de números primos

Question

Debo calcular la densidad asintótica del conjunto\begin{equation} \Pi(x):=\#\{p^k \leq x :p \;prime, k \in \mathbb{N}\} \end{equation} de principales potencias menor o iguales a $x$, que es, calcular el $\lim_{x \to \infty} \dfrac {\Pi(x)}{x}$.

¿Así $\Pi(x)$ denota el número de elementos en el conjunto de $\{p^k \leq x :p \;prime, k \in \mathbb{N}\}$? Nunca he visto esta notación. No estoy buscando una solución, sólo para sugerencias.

Answer 1

Se pueden demostrar resultados más fuertes; en orden creciente de generalidad tenemos

1. La superior densidad de Banach de las principales potencias es 0.
2. La superior densidad de Banach de poderes perfectos es 0.
3. La densidad medida de Buck de poderes perfectos es 0.

Todos estos resultados siguen del corolario 6 en 1.