Simple subgrupo de grupo simétrico

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Deje $n\geq5$, y supongamos que $G$ es un simple subgrupo de $S_{n+1}$ de índice de $k$. Mostrar que si $k\leq2n+2$, $G=A_{n+1}$ o $G$ es isomorfo a $A_n$.

Me las he arreglado para mostrar mediante el uso de la simplicidad de $G$ que $G$ debe ser un subgrupo de $A_{n+1}$. A partir de aquí, podemos ver que si $G=A_{n+1}$, entonces hemos terminado. Otra cosa, nos gustaría decir algo a lo largo de las líneas de $G$ ser un subgrupo de $A_n$. El problema es que no se $n+1$ subgrupos de $A_{n+1}$ que son isomorfos a $A_n$, y como tal sería extraño para mí escribir $G$ como un subgrupo de $A_n$. Alternativamente, estoy tratando de mostrar que $G$ puede ser embebido en $A_n$, por lo que la instrucción de seguir con bastante facilidad. Sin embargo, soy incapaz de mostrar por qué la $G$ puede ser embebido en $A_n$.

Es allí una manera de mostrar que no debe existir algunos inyectiva homomorphism de$G$$A_n$, o hay una manera de demostrar que todos los elementos de a $G$ debe arreglar de alguna un elemento de $\{1,2,\cdots,n+1\}$?

Answer 1

Bien $|A_{n+1}:G| = k/2 \le n+1$ e si $k/2>1$, entonces, por la sencillez de $A_{n+1}$, la permutación de acción de $A_{n+1}$ $k/2$ cosets de $G$ $A_{n+1}$ es fiel, y por lo tanto, $A_{n+1}$ incrusta en $A_{k/2}$. Así que debemos tener $k/2 = n+1$ y, desde $G$ es un punto de estabilizador en la acción del cosets, tenemos $G \cong A_n$.

Si $n+1 = 6$, entonces hay un exterior automorphism de $A_6$ que se asigna a $A_5$ a un transitiva subgrupo de $A_6$ ( ${\rm PSL}(2,5)$ ), y por lo $G$ no podría fijar un punto. Para $n+1>6$ no existe exterior automorfismos, y todos los subgrupos de $A_{n+1}$ isomorfo a $A_n$ debe fijar un punto.