Intersección de dos cuádricas

Question

Cómo entender (tal vez, de manera informal) ¿por qué la intersección de dos quadrics en posición general en $\mathbb{CP}^3$ es una curva elíptica?

Es obvio que se trata de un compacto de 2-colector, es decir, una esfera con asas, pero ¿cómo encontrar a su género? Supongo que se puede aplicar de Mayer-Vietoris secuencia, sino la unión de dos quadrics parece ser difícil de realizar.

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Actualización: me han dicho que es posible el uso de Riemann-Hurwitz fórmula. Escojamos dos líneas de $a$ $l$ proyecto y de todos los puntos de$a$$l$. Que va a ser ramificada que cubre, con 4 hojas por el teorema de Bezout. Es shoould ser $$0=\chi(\text{intersection})=\chi(l=\mathbb{CP}^1)*\text{sheets}-\text{ramification}=2*4-8,$$ pero hay una manera fácil de ver estos puntos de ramificación?

Answer 1

Sus comentarios acerca de Mayer-Vietoris parecen kilter un poco (usted tendrá que escribir la intersección $X=Q\cap Q'$ como una unión de dos buenos conjuntos). Aunque puede haber un enfoque ad hoc, en el método estándar es el uso de la contigüidad de la fórmula. Calculamos el canónica agrupar en dos pasos: $$K_Q \cong K_{\Bbb P^3}\otimes\mathscr O_{\Bbb P^3}(2)\big|_Q \cong\mathscr O_Q(-2), \text{ and } K_X \cong K_Q\otimes \mathscr O_Q(2)\big|_X \cong \mathscr O_X.$$ The genus formula for smooth curves tells us that trivial canonical bundle is equivalent to $g=1$.

EDIT: Cool argumento que has añadido con Riemann-Hurwitz. Una elemental forma de obtener el $8$ es esto: Dicen que la línea $\ell$ está dado por homogéneos de ecuaciones lineales $L_1=L_2=0$ y los dos quadrics se $Q_1=0$$Q_2=0$, respectivamente. Usted obtener otro quadric surface tomando la ecuación $$D=\left|\begin{matrix} - & dL_1 & - \\- & dL_2 & - \\- & dQ_1 & - \\- & dQ_2 & - \end{matrix}\right| = 0.$$ El ejercicio es mostrar que los puntos de $X\cap D$ corresponden a puntos de la curva de $X=Q_1\cap Q_2$ cuando la proyección de $\pi_a$ $X$ $\ell$ramifies. Por Bezout, ya $X$ tiene el grado $4$ $D$ tiene el grado $2$, obtenemos $8$ dichos puntos.