(CLT) Número de tiradas de dos dados justos para tener el 90% de certeza de que el porcentaje de veces que muestran la misma cara es entre 5/36 y 7/36

Question

¿Cuántas veces hay que tirar dos dados justos de seis caras para estar 90% seguro de que el porcentaje de veces que muestran la misma cara está entre 5/36 y 7/36?

Estaba pensando en aplicar el teorema del límite central entre los dos límites, pero no tengo ni idea de cómo configurarlo.

En primer lugar, gracias a Henry por su respuesta.

Mi profesor dijo,

Primero:

A partir de la exposición del problema hay que saber, cómo aplicar el factor de corrección para tener correctamente el límite en el que se evalúa lo normal, y encontrar la n correcta.

Segundo: La distribución es binomial y será imposible tener un mayor valor (%) para 486 que para 487.

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I have three question:

1) How Henry obtain (5/36n)^(1/2) for the standard deviation.
2) Where is my mistake evaluating the probability of 486 and 487.
3) How to solve it using the CLT.

Gracias.

Answer 1

Tienes una distribución binomial con el parámetro $p$ así que la expectativa del número de caras iguales es $ \frac {n}{6}$ y la variación $ \frac {5n}{36}$ .

Para la proporción que se espera $ \frac {1}{6}$ y la variación $ \frac {5}{36n}$ así que una desviación estándar de $ \sqrt { \frac {5}{36n}}$ .

Si vas a usar el teorema del límite central, entonces desde $ \Phi ^{-1}(0.95) \approx 1.644854$ el simétrico de dos colas $90\%$ El intervalo es $ \pm 1.644854$ desviaciones estándar de la media. Así que quieres encontrar $n$ de tal manera que $ \frac {1}{36} = 1.644854 \sqrt { \frac {5}{36n}}$ sugiriendo $n$ debería ser al menos $486.9978$ . No es un número entero, así que tendrás que redondear a $487$ .

Curiosamente, aunque es una buena aproximación, $487$ de hecho falla, con una probabilidad para el intervalo de aproximadamente $0.8996$ mientras que $486$ tiene éxito con una probabilidad de alrededor de $0.90002$ .

Asumiendo que su intervalo "entre" es inclusivo (aunque eso sólo importa cuando $n$ es un múltiplo de $36$ ), los valores exactos para asegurar una $90\%$ probabilidad usando una distribución binomial parecen ser $474, 475,479,480,481,482,484,485,486,489,494,495,496,499,500,$ y cualquier número mayor, pero no $487$ tomado del código R:

n <- 1:600
intprob <- pbinom(7/36 * n, n, 1/6) - 
           pbinom(5/36 * n - 10^(-12), n, 1/6)
which(intprob >= 0.9)