¿Hay una manera simple de ilustrar que Fermat ' s último teorema es plausible?

Question

Un primer paso en la demostración de un teorema es verdadero podría ser para mostrar que es plausible, por lo menos usted entonces tiene una idea general de que podría ser verdad y tener algo para comenzar con la prueba. En pocas palabras: si usted consigue el cuadro, usted puede hacer los cálculos.

Esto me lleva a mi pregunta:
Hay una manera sencilla de demostrar que el Último Teorema de Fermat es (al menos) plausible? Y si es así, es un pensamiento que Fermat había encontrado a sí mismo? O ha tratando de prueba FLT sido siempre " un tiro en la oscuridad para todo el mundo, de todos modos?

Answer 1

Mi comprensión es el Último Teorema de Fermat

$$\not\exists x, y, z \in \mathbb{Z}_{+} : x^p + y^p = z^p\quad\text{ for } p > 2$$ is plausible because integers of $p^{th}$ power thin out too quickly as $x$ getting big (at least for $p > 3$ ).

Para cualquier entero $N$, el número de $p^{th}$ de la potencia menor que $N$ es de la orden de $N^{\frac{1}{p}}$. Si seleccionamos aleatoriamente un entero cerca de un número de $N$, la probabilidad de que obtener un $p^{th}$ de la energía es de alrededor de $\frac{1}{p} N^{\frac{1}{p}-1}$.
De forma heurística, la probabilidad de que se obtenga una suma de dos $p^{th}$ de la potencia debe ser algo parecido a

$$\frac{1}{p^2} \sum_{n=1}^{N-1} n^{\frac{1}{p}-1} (N-n)^{\frac{1}{p}-1} \sim \frac{1}{p^2} N^{\frac{2}{p}-1} \int_0^1 x^{\frac{1}{p}-1}(1-x)^{\frac{1}{p}-1} dx = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{p}\right)^2}{p^2\Gamma\left(\frac{2}{p}\right)} N^{\frac{2}{p}-1} $$ Reemplace $N$ por la lista de $p^{th}$ de potencia y suma más de ella, uno se espera el número total de primitivas soluciones de $\mathcal{N}(p)$ $x^p + y^z = z^p$ es de la orden

$$\mathcal{N}(p) \sim \mathcal{N}_{est}(p) := \frac{\Gamma\left(\frac{1}{p}\right)^2}{p^2\Gamma\left(\frac{2}{p}\right)} \sum_{n=2}^\infty n^{2-p} = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{p}\right)^2(\zeta(p-2)-1)}{p^2\Gamma\left(\frac{2}{p}\right)} \etiqueta{*1}$$ Ya que la suma de $\sum\limits_{n=2}^\infty n^{2-p}$ converge para $p > 3$, esperamos que $\mathcal{N}(p)$ a un ser finito. Cuando conectamos en algunos números reales, nos encontramos con

$$\begin{align} \mathcal{N}_{est}(4) &\sim 0.29893898046807\\ \mathcal{N}_{est}(5) &\sim 0.076793757848265\\ \mathcal{N}_{est}(6) &\sim 0.026448003085251\\ &\;\vdots \end{align} $$ Son tan pequeñas y no esperamos a $\mathcal{N}(p)$ a ser distinto de cero en todo. Por supuesto, este argumento sólo funciona para $p > 3$. No tengo idea de cómo argumentar para el caso de $p = 3$.

Answer 2

Hay una manera sencilla de demostrar que el Último Teorema de Fermat es (al menos) plausible? Probablemente no, otros que el equipo busca que siguen llegando hasta negativo. Lo que Fermat había, o había, es, hasta donde yo sé, un total misterio. La famosa nota en el margen fue encontrado años después de su muerte y no parece ser otro trabajo suyo sobre el asunto.

ha tratando de prueba FLT sido siempre " un tiro en la oscuridad para todo el mundo, de todos modos? No en todos. Un buen montón de álgebra moderna (por ejemplo, los ideales) surgió de muy estructurada (aunque sin éxito) los intentos de resolver FLT. Las pruebas para el particular exponentes fueron establecidos, dando, al menos parcial, de las pruebas, y no eran sólo los disparos en la oscuridad. Otros estudios sobre el problema del led para las conexiones con curvas elípticas, y, finalmente, a Wiles' la prueba.

Sólo para comparar FLT a otro famoso problema de la doble conjetura de los números primos, yo creo que es seguro decir que el FLT producido una gran cantidad de importantes teorías que finalmente no conducen a una prueba de FLT, pero son muy importantes. El doble conjetura de los números primos en el otro lado no dan lugar a un montón de teorías y trató de pruebas de que fueron algo más de un disparo en la oscuridad. Es, en cierto sentido, no es de extrañar que el FLT fue resuelto, especialmente una vez que la conexión con curvas elípticas se hizo (no estoy diciendo que no hay nada trivial en la prueba real, sólo que una vez que una conexión con algo tan diversos e importantes como curvas elípticas es de hecho, uno espera que el rico configuración para permitir una prueba). El twin-primer conjetura sin embargo, que ahora parece estar a punto de ser resuelto, habría sido imposible si no fuera por el repentino salto realizado por Yitang Zhang.

Answer 3

Para cada n, que finalmente llegan a un producto de n cantidades, lo cual equivale a un producto de dos cantidades. Pero debido a varios co-primalidad y positividad condiciones previamente impuestas, esto sólo será posible para $n=2$. Todo lo que usted necesita es el de Newton teorema del binomio y/o de algunos conocimientos básicos de aritmética modular. Resolver los casos $n=2$$n=3$, y, a continuación, en contraste, es particularmente esclarecedor en la medida en la intuición de que se trate.