Tomemos su ejemplo concreto:- $$p(x) = a_0 + a_2x^2 + a_4x^4 + a_6x^6$$ $$q(x) = b_0 + b_4x^4 + b_6x^6 + b_8x^8$$
Podemos expresar los dos polinomios anteriores en formato vectorial:- $$\mathbf{p}=[a_0,0,a_2,0,a_4,0,a_6]$$ $$\mathbf{q}=[b_0,0,0,0,b_4,0,b_6,0,b_8]$$
donde el $k$ ª entrada (para $k\in\{0,1,2,..\}$ ) representa el coeficiente de $x^k$ .
Una vez que tenemos los vectores, tenemos que rellenar $\mathbf{p}$ con $8$ ceros (la longitud del vector $\mathbf{q}$ menos $1$ ), y tenemos que rellenar $\mathbf{q}$ con $6$ ceros (la longitud del vector $\mathbf{p}$ menos $1$ ), por lo que tenemos:-
$$\mathbf{p'}=[a_0,0,a_2,0,a_4,0,a_6,\color{red}{0,0,0,0,0,0,0,0}]$$ $$\mathbf{q'}=[b_0,0,0,0,b_4,0,b_6,0,b_8,\color{red}{0,0,0,0,0,0}]$$
La razón por la que necesitamos el relleno cero es para asegurar que cuando realicemos la FFT en los vectores, multipliquemos los FFTs por elementos y realicemos una FFT inversa (IFFT), el resultado corresponderá a un lineal convolución.
Cabe destacar que la duración de $\mathbf{p'}$ y $\mathbf{q'}$ es $15$ . Como la FFT está diseñada para procesar de forma óptima una potencia entera de $2$ número de muestras, podemos rellenar $\mathbf{p'}$ y $\mathbf{q'}$ por un extra $0$ para que tengamos $16$ muestras para procesar.
$$\mathbf{p''}=[a_0,0,a_2,0,a_4,0,a_6,\color{red}{0,0,0,0,0,0,0,0,0}]$$ $$\mathbf{q''}=[b_0,0,0,0,b_4,0,b_6,0,b_8,\color{red}{0,0,0,0,0,0,0}]$$
A continuación realizamos la FFT sobre los vectores $\mathbf{p''}$ y $\mathbf{q''}$ y denotamos los vectores resultantes por $\mathbf{P}$ y $\mathbf{Q}$ respectivamente (cada elemento será un número complejo):-
$$\mathbf{P}=[A_0,A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7,A_8,A_9,A_{10},A_{11},A_{12},A_{13},A_{14},A_{15}]$$ $$\mathbf{Q}=[B_0,B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6,B_7,B_8,B_9,B_{10},B_{11},B_{12},B_{13},B_{14},B_{15}]$$ A continuación, multiplicamos cada elemento de $\mathbf{P}$ con el elemento correspondiente de $\mathbf{Q}$ , dando como resultado el vector $$\mathbf{R}=[C_0,C_1,C_2,...,C_{15}]$$ donde $C_k=A_k\times B_k$ .
El último paso es calcular el IFFT del vector $\mathbf{R}$ , lo que da lugar a $$\mathbf{r}=[r_0,r_1,r_2,...,r_{15}]$$ donde el elemento $r_k$ es el coeficiente de $x^k$ , para $\in{0,1,..,15}$ . Tenga en cuenta que $r_{15}$ debe ser $0$ ya que hemos puesto a cero ambos vectores con un extra $0$ plazo.
Suponiendo que los coeficientes de los polinomios $p(x)$ y $q(x)$ fueran reales, entonces los elementos de $\mathbf{r}$ debe ser real (cualquier desviación, en términos de un pequeño componente imaginario, podría surgir de la naturaleza de precisión finita de cómo se implementa la FFT en un procesador).
Dada la naturaleza de los polinomios $p(x)$ y $q(x)$ los elementos $r_m$ para impar $m$ será cero (o un número muy pequeño, también debido a los efectos de la precisión finita).
