En suma de determinantes

Question

$(1)$ ¿Hay ningún no trivial clases especiales de matrices cuadradas de $n\times n$ donde $$\det(A)=\sum_{i=1}^m\det(A_i)$$ at some (not necessarily any) $m$ satisfying $2\leq m\leq n$ where $A=\sum_{i=1}^mA_i$ tiene?

¿$(2)$ Suponiendo si $A_i$ es simétrica y positiva definida es verdad $$\det(A)\geq\sum_{i=1}^m\det(A_i)$$ holds at any $n\geq1$ if $A=\sum_{i=1}^mA_i$ tiene (si verdadero o no hay cualquier otra clase de matrices para que este tiene)?

$(3)$ ¿Hay alguna clase de matrices no trivial que podemos tener $$\det(A)>\sum_{i=1}^m\det(A_i)$$ holding true if $A=\sum_{i=1}^mA_i$ tiene?

Answer 1

1. No está seguro de lo que es calificado como "no trivial", pero cualquier singulares de la matriz que se puede dividir en la suma de un número singular de matrices va a hacer. Si usted requiere nonsingular $A_i$s, entonces para cualquier extraño $n\ge3$, usted puede tomar un nilpotent Jordan en la forma $A$ y establezca $A_1=pA+I$$A_2=(1-p)A-I$. No puede ser más elegante y más ejemplos, pero creo que el de arriba son suficientes para ilustrar el punto.
2. Sí. Por la izquierda y a la derecha multiplicando $A^{-1/2}$ a ambos lados de $A=\sum_jA_j$, podemos suponer que la $A=I$. Ahora, Hadamard de la desigualdad indica que el determinante de una positiva semidefinite matriz $P$ siempre está acotado arriba por el factor determinante de su parte diagonal, es decir,$\det P\le \det(P\circ I)$. Por lo tanto,$\sum_j\det(A_j)\le\sum_j\det(A_j\circ I)$. Denotar la diagonal de $A_j$$u_j=(u_{1j},\ldots,u_{nj})^T>0$. A continuación,$\sum_{j=1}^m\det(A_j\circ I) = \sum_{j=1}^m\prod_{i=1}^nu_{ij}\le \prod_{i=1}^n\sum_{j=1}^mu_{ij}=1=\det(A)$.
3. Sí. E. g. $\det\pmatrix{3&1\\ 1&3}=8>3+1=\det\pmatrix{2&1\\ 1&2}+\det I$. De hecho, ya que el empate se produce en Hadamard la desigualdad si y sólo si $P$ es diagonal, el argumento en (2) muestra que la desigualdad estricta debe mantener al $m>1$ $A_1,\ldots,A_m$ es positiva definida.