¿Existe una función $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tal que $f(f(x))=x+1$ ?

Question

¿Existe una función $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tal que $f(f(x))=x+1$ ? Si es así, ¿puede dar un ejemplo?

Answer 1

No. Supongamos que tal $f$ existe y $f(0)=n_0$ . Desde $f(f(f(x)))=f(x+1)$ y $f(f(f(x)))=f(x)+1$ . Así, $f(x+1)=f(x)+1$ . Así, $f(n)=n_0+n$ para $n\in \mathbb{Z}$ .

Si, $n_0>0$ entonces $f(n)>n\Rightarrow f(n)\geqslant n+1\Rightarrow f(f(n))\geqslant f(n)+1\geqslant n+1+1=n+2>n+1 \Rightarrow\Leftarrow$ .

Si, $n_0\leqslant 0$ entonces $f(n)\leqslant n\Rightarrow f(f(n))\leqslant f(n)\leqslant n<n+1 \Rightarrow\Leftarrow$ .

Los dos últimos pasos pueden simplificarse: $n+1=f(f(n))=f(n)+n_0=n+2n_0\Rightarrow 2n_0=1\Rightarrow\Leftarrow$ .

Answer 2

Digamos que $f(0)=a$ es positivo (un argumento similar puede hacerse para $a$ negativo). Entonces $$f(a)=f(f(0))=1\\f(1)=f(f(a))=a+1\\\vdots\\f(a-1)=f(f(2a-2))=2a-1\\f(2a-1)=f(f(a-1))=a\\f(a)=f(f(2a-1))=2a$$ Pero ya hemos establecido que $f(a)=1$ por lo que tenemos una contradicción.