¿Por qué es $\int e^{itx}\, d\mathbb{P}_X=\mathbb{E}(e^{itX})$ ?

Question

En nuestra lectura, primero definimos la función característica de una mesa de probabilidad como sigue:

Dejemos que $\mu$ sea una medida de probabilidad sobre $(\mathbb{R},\mathcal{B})$ . La transformada de Fourier $\varphi_{\mu}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ , $$ \varphi_{\mu}(t):=\int e^{itx}\, d\mu(x) $$ se denomina función característica de $\mu$ .

A continuación definimos qué es la función característica de una variable aleatoria:

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria con $\mathbb{P}(\left\{|X|<\infty\right\})=1$ . Entonces $\varphi_X:=\varphi_{\mathbb{P}_X}$ se denomina función característica de $X$ . Es $$ \varphi_X(t)=\int e^{itx}\, d\mathbb{P}_X=\mathbb{E}(e^{itX}). $$

(Con $\mathbb{P}_X$ siempre nos referimos a la distribución de $X$ es decir $\mathbb{P}\circ X^{-1}$ .)

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Mis preguntas son:

(1) ¿Por qué $\mathbb{P}(\left\{|X|<\infty\right\})=1$ dado como condición resp. ¿Por qué es necesario?

(2) ¿Por qué $\int e^{itx}\, d\mathbb{P}_X=\mathbb{E}(e^{itX})$ ?

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Editar

Con respecto a (2) $$ \int e^{itx}\, d\mathbb{P}_X=\int e^{itx}\circ X\, d\mathbb{P}=\int h_t\circ X\, d\mathbb{P} $$ con $h_t\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}, x\mapsto e^{itx}$ . Es $$ h_t\circ X\colon\Omega\to\mathbb{C}, \omega\mapsto X(\omega)\mapsto e^{itX(\omega)}, $$ es decir $$ \int h_t\circ X\, d\mathbb{P}=\int e^{itX}\, d\mathbb{P}=\mathbb{E}(e^{itX}). $$

Answer 1

(1) El problema radica en la definición de $e^{itx}$ cuando $x=\pm \infty$ , como $\lim_{x\to +\infty} e^{itx}$ no está bien definida. Esto no nos molesta cuando $X\in\mathbb R$ casi seguro, porque podemos definir $\widetilde X$ una variable aleatoria de valor real igual a $X$ casi en todas partes. En particular, no cambiará la integral.

(2) De manera más general, si $g\colon\mathbb R\to\mathbb R$ es una función acotada medible de Borel y $X$ una variable aleatoria, $$\mathbb E[g(X)]=\int_{\mathbb R}g(x)\mathrm dP_X(x).$$