Que $F$ sea el Funtor de familias planas de líneas a través del origen en $\mathbb{C}^2$. Sea $C$ la curva proyectiva con un avión modelo $y^2 = x^3$, es decir, en el espacio proyectivo se define en $y^2z = x^3$. ¿Hay una transformación natural $\Phi: F \to h_C$ lo $(C, \Phi)$ un espacio de móduli $F$?
Respuesta
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ktolis
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Vamos a trabajar con esquemas más de $\mathbf{C}$ (y no algebraicas, espacios). Deje $F$ un functor contravariante de la categoría de los esquemas de más de $\mathbf{C}$ a la categoría de conjuntos. Un esquema de $M$ y una transformación de functors $\phi : F \to h_M$ se llama una gruesa módulos de esquema de $M$ si (a) $\phi$ es una categoría de cociente, y (b) el mapa de $F(\text{Spec}(k)) \to h_M(\text{Spec}(k))$ es bijective para cualquier algebraicamente cerrado extensión de $\mathbf{C} \subset k$.
Usted puede encontrar esta definición en Mumford del libro `Geométricas Invariantes de la Teoría" (segunda edición) página 99. Sí, él sólo está haciendo de esta definición en la configuración de los módulos de las curvas, pero es la costumbre de extender esta definición arbitraria de los módulos de problemas. Hay también define lo que es un buen esquema de módulos para $F$ y te dice que una multa módulos de esquema es un grueso módulos de esquema (esto es inmediata a partir de la definición).
Ahora mi punto es que si $(M, \phi)$ es un grueso módulos de esquema, $M$ es único (único) isomorfismo por (un). Este debe trabajar para usted, es totalmente una afirmación categórica. Por lo tanto, si usted puede demostrar que su functor $F$ es representado (es decir, tiene un buen esquema de módulos) por $\mathbf{P}^1_\mathbf{C}$, entonces cualquier grueso de los módulos esquema va a ser isomorfo a $\mathbf{P}^1_\mathbf{C}$.
OK, así que ahora es su tarea para definir correctamente $F$ (que en realidad no se que hacer en la cuestión), de modo que este es realmente el caso.
