Así que deseo encontrar para cada una de estas funciones una constante de Lipschitz o demostrar que no existe ninguna. Así que mi definición para que una función sea Lipschitz es:
Una función $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ es Lipschitz si existe un $L$ tal que $|f(x) - f(y)| \leq L|x-y|$ para todos $x,y \in [a,b]$ .
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$f(x) = \frac{1}{x}$ para $x \in (0, 1]$
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$f(x) = e^x$ para $x \in \mathbb{R}$
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$f(x) = \sqrt{1-x^2}$ para $x \in [-1,1]$
Mi intento de 1) demostrar $f$ no es Lipschitz es por contradicción. Supongamos que $x, y \in (0,1]$ y $f$ es Lipschitz. Entonces existe un $L$ tal que,
$$|\frac{1}{x} -\frac{1}{y}| = \frac{|x-y|}{|xy|} \leq L |x-y|$$ para todos $x,y \in (0, 1]$ . Esto implicaría que, $\frac{1}{|xy|} \leq L$ para todos $x,y \in (0, 1]$ . Pero tal $L$ no puede existir ya que podemos hacer $x, y$ tan pequeño como queramos, la fracción crecerá.
Así que en conclusión he intentado 1) pero no estoy seguro de estar en lo correcto. Estoy atascado en 2 y 3. ¿Alguien puede darme alguna pista? Estoy pensando en usar el Teorema del Valor Medio en la pregunta 2. Aparte de eso no tengo ni idea de cómo empezar.
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Su intento de 1) tiene buena pinta. 2) tampoco es Lipschitz en $\Bbb R$ (sin embargo es Lipschitz en cualquier intervalo acotado).