¿Secuencias exactas de representaciones permutacionales?

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo, como el anillo de los enteros $\mathbb Z$ o el anillo de $p$-ádico enteros $\mathbb Z_p$. Deje $G$ ser un grupo finito; tengamos en cuenta permutational representaciones de $G$$R$, es decir, $R[G]$-módulos de la forma $R[G/H]$ donde $H\subset G$ es un subgrupo, y directa sumas de tales módulos. Estos son gratuitos $R$-los módulos donde se $G$ hechos, de modo que existe una base del módulo de conserva (como un todo) por la acción.

Estoy interesado en lo finito exacta secuencias de representaciones de los del tipo anterior, en particular en aquellos de ellos que no son muy largos. Hay algunos hermosos ejemplos, por ejemplo, para $G=\mathbb Z/2$ $R=\mathbb Z/2$ hay una secuencia exacta $$ 0\rightarrow R\rightarrow R[G]\rightarrow R\rightarrow 0, $$ mientras que para $G=\mathbb Z/n$ $R=\mathbb Z$ hay una secuencia exacta $$ 0\rightarrow R\rightarrow R[G]\rightarrow R[G]\rightarrow R\rightarrow 0. $$ Para el cuarto grupo simétrico $G=\mathbb S_4$ $R=\mathbb Z$ hay una secuencia exacta $$ 0\rightarrow R\rightarrow R[\mathbb X_4]\oplus R\rightarrow R[\mathbb X_6]\oplus R\rightarrow R[\mathbb X_3]\rightarrow0, $$ donde $\mathbb X_4$ es el de cuatro elementos conjunto de $\mathbb S_4$ permutes, $\mathbb X_6$ es el conjunto de dos elementos, subconjuntos de a $\mathbb X_4$, e $\mathbb X_3$ es el cociente conjunto de $\mathbb X_6$ por la evidente involución. Diedro grupos también tienen algunos de cuatro término exacto secuencias de permutational representaciones.

Donde se debe de obtener un exacto secuencias? Hay algunas maneras obvias, como por ejemplo, uno puede tomar conos de morfismos exacta de secuencias de este tipo, o que uno puede hacer en la restricción o la inducción de un grupo a otro. Hay otras construcciones?

Para las construcciones interesantes, que por supuesto debe ser eliminado lo suficiente de el caso trivial al $|G|$ es invertible en a $R$. E. g., tener $R=\mathbb Z_p$ $|G|$ gran $p$-grupo sería tal vez más altamente no trivial.

EDIT: Uno de los comentaristas preguntado de dónde viene la secuencia de $\mathbb S_4$ vienen, así que permítanme decir algunas palabras acerca de este. No es que yo realmente lo entiendo, pero no es una construcción geométrica utilizando un CW complejo, y que no es muy del tipo de las que Greg sugiere en su segunda respuesta a continuación.

Representan el grupo $\mathbb S_4$ como el grupo de rotaciones de la $3$-dimensiones del cubo. Considerar el cociente CW complejo de el cubo de la superficie por el centro de simetría de la involución. El grupo $\mathbb S_4$ todavía actúa en el cociente. El conjunto de vértices de un cociente es el $\mathbb S_4$-establecer $\mathbb X_4$, el conjunto de aristas es el $\mathbb S_4$-establecer $\mathbb X_6$, y el conjunto de caras es el $\mathbb S_4$-establecer $\mathbb X_3$.

Ahora, considere el mapa de $R[\mathbb X_4]\rightarrow R[\mathbb X_6]$ la asignación a un vértice de la suma de las tres aristas que termina en (sin ningún tipo de signos!) y también el mapa de la $R[\mathbb X_6]\rightarrow R[\mathbb X_3]$ la asignación a un borde de la suma de las dos caras de la frontera en la que (también sin ningún tipo de signos!). La composición de estos dos mapas no es cero, por supuesto; lo que hace es tomar cada vértice al doble de la suma de las tres caras. Uno de alguna manera transforma este par de flechas en cuatro término de la secuencia exacta mediante la adición de la trivial $\mathbb S_4$-módulo directa sumandos $R$ en varios grados.

Answer 1

Aquí hay una preimpresión de Boltje y Hartmann que construye una resolución conjeturada de los módulos de Specht de$S_n$ (sobre$\mathbb{Z}$) por los módulos de Young. Esta es presumiblemente una herramienta relacionada.

(Una versión anterior de esta respuesta tenía algunos comentarios fuera de paso sobre resoluciones que no eran útiles o ya se abordaban en la pregunta original).

Answer 2

[Katsura, Takeshi. Presentaciones de permutación de módulos sobre grupos finitos. J. Algebra 319 (2008), no. 9, 3653--3665.] Demuestra que si$G$ es finito, entonces cada$\mathbb ZG$ - module$M$ tiene una presentación de permutación (que es una secuencia exacta corta de la forma$0\to F\to F\to M\to0$ Con$F$ un módulo de permutación) iff$G$ tiene todos sus subgrupos de Sylow cíclicos. Para ese grupo, si usted selecciona$M$ sí mismo para ser un módulo de permutación, entonces obtendrá una de las secuencias que desea.

Answer 3

Ahora que he pensado acerca de la cuestión un poco más, te puedo dar una mejor respuesta. Tengo un comentario acerca de cómo la búsqueda de estas resoluciones, en general, y de la construcción que lleva a muchos ejemplos.

En primer lugar, cada permutación módulo es parte de muchas de las secuencias exactas de permutación de módulos en los que el subgrupo es trivial: $$\cdots \to R[G]^{n_2} \to R[G]^{n_1} \to R[G/H] \to 0.$$ La razón es muy simple y estándar: exacta de complejos de este tipo es, por definición, una resolución libre. La forma en que haces una resolución libre es que hay algún objetivo intermedio o kernel $K$, y puede enviar los generadores $1 \in R[G]$ a algunos que abarca el conjunto de $K$. Generalmente, la resolución es infinito, pero con un estándar de álgebra lineal puede buscar un número finito de soluciones cuando hay uno.

Esta observación se generaliza a otros permutación de los módulos. Hay una parte de la inducción de restricción de la reciprocidad que tiene sobre cualquier anillo. Es decir, $$\text{Hom}_G(R[G/H],M) \cong \text{Hom}_H(I,M),$$ donde $I$ es el trivial de la representación. Esta relación es una generalización de la prueba de que un módulo es proyectiva. Así que si hay un número finito de permutación de la resolución de un módulo de $M$ (que podría ser el núcleo de algunos de secuencia incompleta de la permutación de los módulos), puede buscarlo en la misma forma que buscar de forma gratuita resoluciones.

Segundo (y sospecho que los lectores le gusta esta respuesta, mejor), usted puede obtener muchos ejemplos de la cadena de homología complejo de un número finito de CW complejo de $K$ con una acción de $G$. Con el fin de hacer que todo partido, vamos a considerar una leve generalización de una permutación módulo, no sólo a $R[G/H]$, pero también un módulo de $R[G/H]_\chi$ inducida a partir de un personaje $$\chi:H \to \{1,-1\}.$$ La idea básica no es difícil: Cada plazo $C_n(K)$ es una suma directa de firmado permutación de los módulos de $G$, debido a $G$ actúa sobre las células. Si una celda $c$ tiene estabilizador $H$, luego se hace una órbita equivalente a $G/H$, y podemos definir $\chi$ mediante el examen de la cual los elementos de $H$ voltee $c$. Si $K$ pasa a tener el mismo $R$-la homología como un punto, entonces usted puede aumentar su complejo de cadena por el trivial módulo. O si es un $R$-homología de esfera, usted puede aumentar su complejo de cadena en ambos extremos. Si no te gusta el firmado permutación de los módulos, usted puede dividir la celda $c$ a deshacerse de ellos, o el trabajo en el carácter 2.

Si $K$ es un segmento de línea y $G = C_2$ actúa mediante la reflexión, el resultado es Leonid del primer ejemplo.

Si $K$ es un polígono con $n$ lados y $G = C_n$ hechos por rotación, el resultado es Leonid del segundo ejemplo.

Si $K$ es un mosaico poligonal de la 2-esfera y $G$ es una rotación de grupo que actúa en $K$ sin invertir bordes, el resultado es un nuevo ejemplo. Por ejemplo, usted puede tomar un dodecaedro gráfico y dividir cada borde en dos bordes. De nuevo, el punto de separación de los bordes es sólo para deshacerse de la firma de permutación de los módulos.

Cada grupo finito $G$ actos fielmente en una esfera de cierta dimensión, debido a que $G$ tiene una fiel representación lineal. Así que hay muchas esfera ejemplos de cada grupo finito.

A primera vista, la segunda respuesta es un tipo de construcción. En muchos casos, también es una interpretación de una cadena compleja $C$, porque si $C$ puede intentar construir un CW complejo para que lo represente. Con el fin de ser un aumentada complejo de cadena, $C$ necesidades para terminar en el trivial módulo de $I$. Si termina en algo, puede concatenar con $$0 \to I \to I \to 0.$$ Los diferenciales de $C$ también necesita tener entero de las matrices.

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He encontrado varios documentos en una pregunta relacionada con el llamado "cuasi-proyectivo de dimensión" de un anillo de grupo $R[G]$. El artículo original en este es de los Grupos finitos cuasi-proyectivo de dimensión, por Howie y Schneebeli. Su definición de un cuasi-proyectiva, la resolución es de un número finito de resolución de un módulo de $M$ en términos proyectivos, y al final de un término que es una permutación del módulo. Supongo que, sin duda, para grupos finitos, funcionaría igual de bien que utilice una resolución proyectiva de la resolución. Entre otros resultados, Howie y Schneebeli establecer que si $G$ es un grupo finito y $R = \mathbb{Z}$, el cuasi-proyectivo de dimensión de $R[G]$ es igual al período de su Tate cohomology. Pero otro de los temas del documento es que estas preguntas, la suya y seguramente Leonid también, son perfectamente interesante para infinite también a los grupos.

Los documentos que se citan en este documento inicial el uso de la segunda idea que propongo arriba. Que hacer CW complejos con una acción del grupo de $G$, y, a continuación, hacer los complejos de la cadena de estos CW complejos. Así que estos CW complejos parecer una forma de entender los complejos de la permutación de los módulos. En mi opinión, la CW complejo panorama sugiere la generalización de la pregunta original para incluir firmado permutación de los módulos.