Nociones de implicación
El problema radica en la interpretación de la $\implies$ símbolo. Hay dos definiciones antagónicas, y que normalmente podemos conseguir lejos con confundir.
- Día a día idioma: $A \implies B$ es equivalente a , independientemente de cualquier otra cosa, si $A$ sostiene, a continuación, $B$ mantiene.
- Lógica: $A \implies B$ es equivalente a $(\neg A) \vee B$ o sea $B$ mantiene o $A$ no.
¿Por qué estos no son los mismos? A causa de la "independientemente de cualquier otra cosa", que sencillamente no es una cosa de lógica. Usted tiene que evaluar el conjunto de la fórmula para interpretar esta parte correctamente.
Por ejemplo, $(\{m \ge 0\} \implies \{x = 1\}) \vee \{x \neq 1\}$ con un implícito $\forall x$ es una verdadera instrucción lógica. Es, sin embargo, obviamente no es necesariamente el caso de que cualquiera de las $\forall x :\{x \neq 1\}$ o $\forall x:\{m \ge 0\} \implies \{x = 1\}$. El problema radica en el $\forall x$ parte, que es un increíblemente sutil aspecto de la implicación.
La lógica de la interpretación
Vamos a empezar con las matemáticas. El lado izquierdo es $(P \implies R) \vee (Q \implies R)$. Esto es exactamente $(\neg P \vee R) \vee (\neg Q \vee R)$ o reorganizar $R \vee \neg P \vee \neg Q$.
Pero $\neg(P\wedge Q) \equiv \neg P \vee \neg Q$ y, por tanto,$$(P \implies R) \vee (Q \implies R) \quad \equiv \quad R \vee \neg (P\wedge Q) \quad \equiv \quad (P\wedge Q) \implies R$$
¿Qué significa esto en palabras? Es como sigue:
Supongamos que tenemos de saber si usted tiene un resfriado ($P$), si usted tiene un dolor de cabeza ($Q$) y si debería ir a los doctores ($R$). Entonces "NO tiene un resfriado, O usted NO tiene un dolor de cabeza, O te vas a los médicos" es exactamente el mismo como "NO tienes tanto frío Y un dolor de cabeza, O te vas a los médicos".
Que es obviamente cierto. Pero es raro cuando nos reformular en términos de implicaciones - pero esto es debido a que las consecuencias se vuelven triviales. Veamos algunos ejemplos en particular en la tabla de verdad.
Algo que parece raro es que se puede deducir de la CARTA de las cosas que sólo uno de $P,Q$ mantener. Supongamos que usted sólo tiene un resfriado, por lo $P$ pero $\neg Q$. Hay dos casos; $R$ o $\neg R$.
- Supongamos que usted tiene un resfriado, pero usted no debe ir a los médicos. $P$, $\neg Q$, $\neg R$. Entonces el lado derecho de la $(P\wedge Q) \implies R$ evalúa a verdadero! Woah. Raro, ¿eh? Es decir que la implicación es trivialmente satisfecho porque su condición no lo es. Lo que sobre el lado izquierdo? Aquí, el dolor de cabeza implicación $Q\implies R$ es extremadamente satisfecho, por lo que tenemos cierto aquí también.
- Si cambiamos a $\neg P$$Q$, entonces sería una diferente implicación en el lado izquierdo que era verdad!
- Supongamos que usted debe ir a los médicos. $P$, $\neg Q$, $R$. A continuación, el lado derecho es verdadero porque sabemos que usted debe ir a los médicos, y ambos términos en el lado izquierdo también, por la misma razón!
Así, el hecho de que las implicaciones son verdaderas cuando sus argumentos no son satisfechos que hace la declaración totalmente perversa. Nadie te encontrarás en la vida real nunca dice $\forall x: (A(x) \implies B(x)) \vee (C(x) \implies D(x))$; los cuantificadores están en el lugar equivocado! Se podría decir $(\forall x : A(x) \implies B(x)) \vee (\forall x : C(x) \implies D(x))$. Lamentablemente, la lógica de la notación no se presta bien a lo sane los seres humanos entendemos por implicación.
Estándar de la interpretación del lenguaje
Como está escrito, interpretado como estándar de inglés, que no es realmente la correcta interpretación de la LHS.
Para P = "resfriado", Q = "dolor de cabeza", R = "ir al médico", la declaración que usted escribió es
Al menos uno de los dos síntomas de resfriado y el dolor de cabeza es lo suficientemente grave como para hacer una visita al médico necesario [pero no estamos seguros de que]. $(P \implies R) \vee (Q \implies R)$
Sí no decir
Si usted tiene por lo menos uno de los dos síntomas de resfriado y dolor de cabeza, es lo suficientemente grave como para hacer una visita al médico necesario [independientemente de que usted tiene]. $(P \vee Q) \implies R$
Como Henry Swanson señaló, hay no una equivalencia si uno habla en el día a día en inglés entre cualquiera de estas declaraciones y
Si usted tiene ambos de los dos síntomas de resfriado y dolor de cabeza, es lo suficientemente grave como para hacer una visita al médico es necesario. $(P \wedge Q) \implies R$
Sin embargo, tanto de las declaraciones anteriores ¿implica esto. (Desde $P\wedge Q$ nos permite asumir tanto $P$ $Q$ en la consideración de las implicaciones que la anterior).
Para dar un hormigón contraejemplo de la equivalencia en el día a día del idioma, supongamos $P$ es "$x \le 0$", $Q$ es "$x \ge 0$" e $R$"$x = 0$".
A continuación, $P \wedge Q \implies R$ es definitivamente cierto.
Sin embargo, $P \implies R$ no es cierto. También, $Q \implies R$ no es cierto. Por lo tanto, $(P \implies R) \vee (Q \implies R)$ no es cierto.
En consecuencia, las dos expresiones no son iguales.
