Hay un gran cuerpo de trabajo el estudio de las infundadas modelos de la teoría de conjuntos. El objetivo es proporcionar un sólido modelo de la teoría de modelos de la teoría de conjuntos, generalmente centrados en los modelos contables. Gran parte de esta teoría que surge del estudio de modelos no estándar de la aritmética,
y muchas herramientas y teoremas a partir de los modelos de la aritmética generalizar para el estudio de modelos de ZFC.
Permítanme darles algunos ejemplos. Si M es un modelo de ZF, uno puede formar el sistema estándar de M mirando el rastro en el estándar ω de todos los reales de M. es fácil ver que Ssy(M) es un álgebra Booleana, cerrado bajo Turing reducibilidad y si T es un infinito árbol binario codificado en Ssy(M), entonces hay un camino a través de T codificado en Ssy(M). Cualquier conjunto de reales con esas tres propiedades se llama Scott conjunto, en honor de Dana Scott, quien demostró la asombrosa siguiente caracterización:
Teorema.(Scott) Si ZFC es consistente, entonces cada contables Scott conjunto surge como el sistema estándar de un modelo de ZFC.
Scott teorema es generalmente establecido para los modelos de PA, pero la prueba de ZFC es idéntico. Sigue siendo una gran incógnita si Scott teorema tiene para todos los innumerables Scott conjuntos. La respuesta es conocido por Scott conjuntos de tamaño ω1, y así bajo CH el problema está solucionado, pero permanece abierto cuando CH falla.
Una clave de la definición es que un modelo M de ZFC es computably saturado si se da cuenta de que cada finitely consistente computable tipo M. Todos estos modelos son ω-no estándar. Resulta que M es computably saturado si y sólo si lo es (isomorfo a) un modelo que es un elemento de un ω-no estándar del modelo de ZFC. Además, estos modelos tienen interesantes propiedades para cierre.
Teorema. Cualquiera de los dos contables computably saturado de modelos de ZFC con el mismo sistema y la misma teoría son isomorfos.
Teorema. Cada contables computably saturado modelo M de ZFC es isomorfo a un rango del segmento inicial de Vα de sí mismo.
Gran parte de los análisis de los modelos de PA, tales como que en el libro de Jim Schmerl (UConn) y Romano Kossak (CUNY, en inglés) se extiende a los modelos de ZFC. Ali Enayat también ha hecho un montón de trabajo interesante a lo largo de estas líneas.
Aquí hay otro interesante teorema de tener que ver con no estándar modelos de ZFC. Vamos a ZFC* ser cualquier fragmento finito de ZFC. Si hay una (muy pequeño) de gran cardenal, entonces uno puede utilizar la completa ZFC en este teorema (por ejemplo, es suficiente con que hay algunos de los innumerables θ con Lθ la satisfacción de ZFC). El teorema es interesante en el caso de que no se nonconstructible reales.
Teorema. Cada real x es un elemento de un modelo de ZFC*+V=L. Furtheremore, uno puede encontrar un modelo cuyos ordinales son bien fundada, al menos, a α, para cualquier contables ordinal α.
Prueba. En primer lugar, la afirmación de que el teorema es sin duda cierto en L, ya que cada real en L es en algunos de los grandes Lθ. Segundo, la complejidad de la declaración es Σ11 en x y una codificación real α. Así, por Shoenfield del teorema de Completitud, es cierto que en V. QED
Por lo tanto, incluso cuando x no es edificable, todavía puede existir en un modelo de V=L! Esto es muy notable. (Este teorema fue demostrado a mí por Adrian Mathias, pero no estoy seguro de a quién es el que vence.)
