¿Cómo podemos demostrar, sin utilizar las propiedades de los coeficientes binomiales, el producto de $n$ enteros consecutivos es divisible por $n$ ¿Factorial?
Mi enfoque sería demostrar que para cualquier conjunto de $n$ números consecutivos, trabajando $\pmod n$ Podemos ver eso: $$\forall t\in1,...,n; \exists r\in0,...,n-1:t|an+r$$
En este sentido, $k=an+b$ para algunos $a,b$ , ya que compensamos el $\pmod n$ .
Esto es trivial porque uno de cada $t$ enteros consecutivos es divisible por $t$ .
Así que, si trabajamos con $n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$ coincidimos con $\underbrace{(k+1)(k+2)\ldots(k+n)}_{n \text{ consecutive numbers}}$ y observe que para cada $t\leq n$ hay un múltiplo de $t$ en cada subsección del producto de tamaño $t$ y, por tanto, lo mismo ocurre con todo el producto.
Error: no es generalmente cierto que $\,n, n\!\!1, n\!\!2\mid a\Rightarrow n(n\!\!1)(n\!\!2)\mid a,\,$ Por ejemplo $\,4,3,2\mid 12\,$ pero $\,24=432\nmid 12\ \ $
@BillDubuque esto no es lo que yo reclamaba. Cualquier conjunto de cuatro enteros consecutivos tendrá exactamente un múltiplo de $4$ y un múltiplo de $2$ pero no $4$ . También contendrá al menos un múltiplo de $3$ por lo que es fácil ver que su producto será divisible por $2\cdot 3 \cdot 4$ . Añadiendo un quinto número, garantizamos un múltiplo de $5$ está en el conjunto y por tanto el producto del nuevo conjunto será divisible por $5!$ etc.
Queremos demostrar que $n! \mid \prod\limits_{k=1}^{n}(n_0 + k)$ para cualquier $n$ y $n_0$ . Lo haremos en dos pasos.
(Nótese que nuestro razonamiento puede extenderse fácilmente para todos los enteros, como ya explicó Andrés E. Caicedo en su respuesta).
Paso 1: Demostraremos que si $n \mid \prod\limits_{k=1}^{n}(n_0 + k)$ entonces se deduce que $n! \mid \prod\limits_{k=1}^{n}(n_0 + k)$ .
Paso 2: Demostraremos que $n \mid \prod\limits_{k=1}^{n}(n_0 + k)$ .
Prueba del paso 1
Tenga en cuenta que: $$n \mid \prod\limits_{k=1}^{n}(n_0 + k)$$ $$\implies (n-1) \mid \prod\limits_{k=1}^{n-1}(n_0 + k)$$ $$\implies (n-2) \mid \prod\limits_{k=1}^{n-2}(n_0 + k)$$ $$\vdots$$ $$\implies 2 \mid \prod\limits_{k=1}^{2}(n_0 + k)$$ Entonces, debido a $\prod\limits_{k=1}^{n}(n_0 + k) = (n_0+n)\prod\limits_{k=1}^{n-1}(n_0 + k) = (n_0+n)(n_0+n-1)\prod\limits_{k=1}^{n-2}(n_0 + k) = \dots$
De ello se desprende inmediatamente que $ n! \mid \prod\limits_{k=1}^{n}(n_0 + k)$ .
Prueba del paso 2
Es fácil ver que cada $n_0$ puede escribirse de la siguiente forma $n_0 = nc + r$ , donde $c$ es el cociente de la división $n_0$ por $n$ y $r$ es el resto. Por lo tanto, $0 \leq r \leq (n-1)$
Ahora, observemos que para todo resto posible existe un factor en nuestro producto de forma $(n_0 + n - r)$ que es divisible por $n$ . Por lo tanto, todo el producto es divisible por $n$ . $$\implies n \mid \prod\limits_{k=1}^{n}(n_0 + k)$$ Q.E.D.
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Podrías haber editado tu pregunta anterior...
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NOTA $\ $ Esta pregunta es no un duplicado exacto de cualquier pregunta anterior. La pregunta es interesante con la condición añadida de no emplear las propiedades de los coef's binomiales. Tenga en cuenta que esta condición no era parte de la pregunta anterior. La pregunta anterior debería cerrarse como un duplicado, pero no ésta.
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@Bill: Que las preguntas antiguas se cierren como duplicados de las nuevas no tiene ningún sentido. Podemos hacer que se edite esta en la antigua. O esta va o las dos siguen abiertas. En mi opinión, esta pregunta está tan relacionada con la anterior que deberíamos editarla en la antigua y cerrar esta.
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No estoy de acuerdo. En la pregunta anterior ya se han dado tres respuestas a la pregunta sin la salvedad, es decir, a la pregunta no intencionada. Es mejor cerrar esa ya que las preguntas y las respuestas son todas duplicados exactos de una pregunta anterior.
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@Bill: Y esta también ha sido contestada por una de esas respuestas. No veo tu punto de vista.
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@Moron: Este post tiene la pregunta prevista, y sólo responde a esa pregunta. El post anterior tiene la pregunta no deseada (duplicada) y la mayoría de las respuestas a esa pregunta duplicada. ¿Pero crees que el duplicado debe permanecer abierto? Tu lógica se me escapa.
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@Bill: ¿Qué pregunta pretendía? Ambas preguntas son muy similares y de hecho ambas han sido contestadas por las respuestas en la otra pregunta, que de hecho es un superconjunto de esta. No veo ningún sentido en mantener esto abierto. Especialmente, cuando la otra (más antigua) puede ser editada fácilmente para dejar claro que también se buscan pruebas de coeficientes no binómicos. Una vez que se escribe una pregunta no está grabada en piedra. Siempre se puede editar. Esta conversación no tiene sentido.
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@Moron: Esta pregunta posterior con el poviso es lo que pretendía el OP - como indicó en un comentario a la pregunta anterior, a saber: "Deseo obtener una prueba que no utilice las propiedades de los coeficientes binomiales". El problema de editar la pregunta anterior para cambiarla por esta pregunta posterior es que hace que la mayoría de las respuestas a esa pregunta ya no sean aplicables a la nueva pregunta editada. Esta pregunta posterior con la salvedad es una pregunta muy diferente a la anterior sin ella. Creo que la mejor solución es cerrar la anterior como dup y trasladar una respuesta allí.
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@Bill: Si estaba claro en los comentarios de la otra pregunta, ¿por qué la gente no editó esa pregunta y dio respuestas adecuadas? Muy extraño. No creo que debamos fomentar ese comportamiento, ni que el OP cree nuevas preguntas en lugar de editarlas ni que la gente ignore los comentarios pertinentes a la pregunta. En fin...
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@Moron: Mis observaciones se refieren a cómo limpiar los dos hilos. No dicen nada sobre fomentar "ese comportamiento", sea lo que sea que eso signifique. En cuanto a la primera pregunta, el comentario aclaratorio del OP fue publicado después de la primera respuesta (y después de empezar a componer mi respuesta). ¿No era obvio?
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@Bill: Si la limpieza consiste en cerrar una pregunta antigua como duplicado de una nueva, algo está mal en alguna parte. En este caso, es OP creando una nueva pregunta en lugar de editarla, y la gente ignorando los comentarios antes de responder. En cuanto a tu comentario sobre lo obvio, no lo es. Hubo mucho tiempo entre el comentario del OP y la aparición de las otras respuestas. En cuanto al comentario sobre el comportamiento, no tiene nada que ver con lo que has hecho. Se trata de tratar de tener una alta relación señal-ruido en este sitio. No podemos tener gente creando preguntas e ignorándolas, o gente dando respuestas sin leer los comentarios relevantes.
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Otra cosa es que la gente publique respuestas a preguntas que deberían estar cerradas por ser falsas (que es otro caso de no leer los comentarios relevantes aquí).
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@Moron: No se puede esperar que todas las personas que responden a una pregunta sepan que se trata de un duplicado. Tampoco puedes esperar que todas las personas hayan leído todos los comentarios (¡especialmente antes de ser publicados!). En este caso la mejor solución es cerrar el original duplicado, y fusionar una respuesta de allí aquí. Al parecer, usted cree que al hacerlo se aprueba el comportamiento del usuario de publicar una nueva pregunta. No entiendo por qué piensas eso. En cualquier caso, este es un trabajo para los mods, así que simplemente deberíamos dejarles hacer lo que es necesario.
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@Bill: ¿De qué estás hablando? Paolo era muy consciente de que había publicado la pregunta más antigua e incluso hizo un comentario en esa pregunta diciendo que no quería pruebas que implicaran coeficientes binomiales. En lugar de editar esa pregunta, simplemente abrió una nueva. Este es el comportamiento que creo que debería desalentarse. Tener múltiples preguntas con pequeñas variaciones, cuando una pregunta es suficiente, es sólo aumentar el ruido en el sitio.
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@Moron: ¿De dónde has sacado la extraña idea de que apruebo la publicación de múltiples preguntas con pequeñas variaciones?
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@Bill: ¡Bueno, entonces no les contestes! En fin, estoy perdiendo el tiempo con este tema menor. Por favor, no esperes más respuestas mías al respecto.
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@Moron: Si eliges "penalizar" a alguien que ha cometido un error honesto negándose a responder a su pregunta, entonces es ciertamente tu prerrogativa. Pero yo estoy aquí, ante todo, para compartir mis conocimientos de matemáticas respondiendo a las preguntas. Así que, por favor, abstente de decirme lo que tengo que hacer en ese sentido.