Medidas de translación de un conjunto abierto

Question

Supongamos $\mu$ es positivo medida de Borel en $\mathbb{R}^n$ $V$ es un conjunto abierto. Definir el mapa de $\varphi\colon \mathbb{R}^n\to [0,\infty]$ $\varphi(x)=\mu(x+V)$ donde $x+V$ es la traducción de $V$$x$.

Me han dicho que $\varphi$ es inferior semi-continua, siempre que $\mu$ es finito. He producido una prueba de esto, pero mi prueba no parecen utilizar la finitud de la asunción. Esto va más o menos la siguiente: supongamos $x_0\in\varphi^{-1}((\alpha,\infty))$ no es un punto interior. Esto le da una secuencia $y_n$, convergiendo a$x_0$,$\varphi(y_n)\leq\alpha$. Desde $V$ es abierto, cada una de las $x\in x_0+V$ se encuentra en los conjuntos de $y_n+V$ a partir de cierto punto en adelante. Escribir $x_0+V$ como un aumento de la unión, basado en el índice en el que los puntos de la tierra en la secuencia de $y_n+V$. Pero, a continuación, $\varphi(x_0)$ es el límite de una sucesión acotada arriba por $\alpha$. Contradicción.

He pasado algún tiempo en busca de un descuido de mi parte en la prueba, pero no puedo encontrar uno. Podría alguien por favor confirmar que la finitud de la asunción es innecesario, o, alternativamente, seleccione una falla en mi prueba o dar un contraejemplo?

Answer 1

Por el bien de tener una respuesta, notaré que el comentario de Mike sobre el lema de Fatou funciona.

Tome una secuencia$x_n \to x$. Tenga en cuenta que$\liminf 1_{V + x_n}(y) \ge 1_{V + x}(y)$ para cada$y$. En otras palabras, si$y \in V + x$, entonces$y \in V + x_n$ para todos, pero finitamente muchos$n$. Lo contrario no es necesario mantener, por lo que la desigualdad puede ser estricta para algunos$y$, pero eso está bien.

Ahora el lema de Fatou dice$$\liminf \int 1_{V + x_n} \ge \int \liminf\, 1_{V + x_n} \ge \int 1_{V + x}$ $ que es decir$\liminf \varphi(x_n) \ge \varphi(x)$.

Esto no requiere ninguna suposición sobre la medida, excepto que sea positiva.