Teorema de Bell para principiantes, ¿cómo funciona?

Question

He estado leyendo sobre física teórica durante algunos años y siento que estoy empezando a entender la física de partículas, al menos tanto como se puede desde las páginas de Wikipedia. Una cosa que he intentado comprender pero no logro entender es el Teorema de Bell. Entiendo que la premisa del artículo de ERP fue que el "colapso de la forma de onda" no podía funcionar porque requeriría que las dos partículas que formaban la forma de onda enrevesada se comunicaran instantáneamente, violando el límite de velocidad de la información. En cambio, sugirieron que se debía a variables ocultas (es decir, los valores ya están establecidos, ya se hayan medido o no).

Mi pregunta es si alguien puede explicarme cómo funciona el experimento de Bell y cómo refuta esto en términos que no requieran una comprensión profunda de las matemáticas detrás de la mecánica cuántica.

Mi entendimiento actual del experimento es que hay dos personas que están leyendo un valor cuántico de partículas cuánticas entrelazadas (para mi entendimiento digamos que el estado de giro de un par positrón-electrón producido por un evento de producción en pareja). Para cada par de partículas, los dos lectores miden el giro en un ángulo elegido al azar.

Es aquí donde necesito aclaración: si entiendo correctamente, la hipótesis del realismo local afirma que cuando se miden en el mismo eje, los estados de giro siempre deberían ser opuestos (.5 + -.5 = 0, es decir, conservación) cuando se miden en ejes opuestos, los estados de giro siempre deberían ser iguales (.5 - .5 = 0) y cuando se miden a 90 grados de separación, los valores son totalmente aleatorios. Esto lo entiendo. Creo que estos resultados se predicen que serán iguales tanto por el realismo local como por la mecánica cuántica. Las desigualdades entre las dos hipótesis surgen cuando las partículas se miden en ejes que están entre 0-90 grados fuera de eje uno del otro, ¿correcto?

Lo que me gustaría que se me explicara es lo siguiente:

1. ¿Cuáles son las predicciones hechas por la mecánica cuántica?

2. ¿Cuáles son las predicciones hechas por el realismo local?

3. ¿En qué se diferencian?

4. ¿Cómo es diferente la entrelazación de la conservación?

5. ¿Alguna corrección respecto a mi explicación anterior?

Answer 1

El teorema de Bell muestra que la mecánica cuántica estándar es incompatible con realismo local. El realismo local es un principio muy general que inicialmente no se pensaba que hiciera ninguna predicción física comprobable. Una parte importante del logro de Bell fue demostrar que la desigualdad de Bell está implicada por el realismo local, mientras que las predicciones estándar de la mecánica cuántica la violan. Experimentos como los de Aspect han demostrado desde entonces que las desigualdades de Bell son violadas en la realidad, refutando el realismo local, de una manera consistente con la mecánica cuántica estándar.

Creo que tu problema está con la definición de realismo local:

cuando se miden en el mismo eje, los estados de espín siempre deberían ser opuestos (.5 + -.5 = 0, es decir, conservación) cuando se miden en el eje opuesto, los estados de espín siempre deberían ser iguales (.5 - .5 = 0) y cuando se miden a 90 grados de separación, los valores son completamente aleatorios.

Esto es justo lo que la mecánica cuántica estándar predice para partículas entrelazadas.

El realismo local establece que lo que sucede en cualquier punto solo puede ser directamente afectado por el estado en su vecindario inmediato, cualquier efecto a larga distancia debe ser mediado por partículas o perturbaciones de campo que viajen a velocidades (sub)lumínicas, y que todo comportamiento es determinista.

Si las partículas entrelazadas están lo suficientemente separadas como para que se puedan realizar mediciones en ambas de manera que los eventos de medición estén separados por un intervalo espacio-temporal, entonces el realismo local requeriría que las partículas lleven suficientes variables ocultas para predecir el resultado de cada posible medición, ya que cualquier efecto de una medición no tendría tiempo de propagarse hacia la otra medición para hacer cumplir las observaciones correlacionadas.

El realismo local y las desigualdades de Bell no se violan cuando solo se consideran mediciones separadas por múltiplos enteros de 90 grados como en tu descripción. La discrepancia entre la mecánica cuántica y el realismo local solo aparece cuando se consideran ángulos oblicuos, alcanzando un máximo cuando el ángulo entre las mediciones es de 45 grados (más algún múltiplo de 90 grados), momento en el que la correlación entre las mediciones se hace $\sqrt{2}$ mayor de lo permitido por la desigualdad de Bell y, por lo tanto, por el realismo local.

La conservación del espín es realmente una cuestión separada. Simplemente dice que si el espín total de un sistema aislado fue $x$ en algún momento en el pasado, entonces siempre será $x y viceversa. El entrelazamiento proporciona una forma de satisfacer las leyes de conservación sin asignar valores definidos de las cantidades conservadas a los componentes individuales.

El teorema de Bell trata realmente sobre el realismo local y no tanto sobre la mecánica cuántica. En principio, los resultados experimentales podrían violar la desigualdad de Bell pero tampoco coincidir con las predicciones de la mecánica cuántica. Esto seguiría descartando el realismo local y todas las teorías que lo satisfacen. El hecho de que la mecánica cuántica prediga correlaciones más altas de lo permitido por la desigualdad de Bell y que los resultados experimentales coincidan con esas predicciones es algo incidental.

Answer 2

Para entender el teorema de Bell no es en absoluto necesario saber nada sobre la mecánica cuántica. Básicamente, es suficiente si crees que la teoría cuántica predice que se viola incluso si las dos medidas están separadas en el espacio de tal manera que obtener información sobre lo que se mide en otro lugar está prohibido incluso por la relatividad.

http://ilja-schmelzer.de/realism/game.php da una explicación sencilla de cómo funciona el teorema de Bell.

Bell demuestra primero que, una vez que ambos miden en la misma dirección, obtienen una correlación del 100%, pero no puede haber información sobre lo que se ha medido del otro lado, todos los resultados de la medición deben estar predefinidos. Luego elige tres ángulos 0, 120 y 240 grados. Ahora suponga que ambos miden ángulos diferentes. Entonces conocemos dos de los tres valores, todos predefinidos, todos + o -. Una vez de tres valores + o - hay al menos un par igual, la probabilidad de obtener resultados iguales debería ser al menos 1/3.

La teoría cuántica predice solo 1/4 de obtener resultados iguales.

La solución directa, la que se realiza en las teorías de variables ocultas existentes como la interpretación de de Broglie-Bohm, es que una de las variables ocultas es un marco preferido oculto, y que las variables ocultas pueden enviar información más rápido que la luz. Pero un marco preferido oculto, incluso si no es contradicho por nada, es un anatema en la física moderna, y la gente prefiere rechazar el realismo, la causalidad, la lógica y todo lo demás, y caer en el completo misticismo, solo para evitar un marco preferido.

Answer 3

Mi entendimiento es que la medición a 45° coincide más con las mediciones a 0° y 90° de lo que debería (asumiendo variables ocultas locales) dado lo frecuente que coinciden 0° y 90°.

Imagina dos detectores que se mueven entre 0°, 45° y 90°, de modo que obtienes la medición de 90° cuando uno está en 0° y el otro en 90° y la medición de 45° cuando uno está en 45° y el otro en 90° o 0°. Al medir 45° y uno de los otros dos ángulos, obtienes una coincidencia el 85% del tiempo. Entonces, ¿con qué frecuencia deben coincidir 90° y 0°? Al menos el 70% del tiempo: 0°, 45° y 90° coincidirían el 70% del tiempo, y para el otro 30%, la mitad del tiempo 45° coincidiría con 0° y la otra mitad con 90°. 45° coincidiría con cualquiera de los ángulos el 85% del tiempo: 70% cuando coinciden los tres ángulos, más 15% cuando 45° coincide con uno pero no con el otro.

Pero cuando se miden 90° y 0°, solo coinciden el 50% del tiempo. ¿Cuál es el máximo porcentaje con el que 45° puede coincidir igualmente con los otros dos? El 50% del tiempo los tres coinciden, luego el otro 50% del tiempo, cuando 90° y 0° no coinciden, (45° solo puede coincidir con uno u otro). Si coincide con uno la mitad del tiempo y con el otro la otra mitad del tiempo, el porcentaje más alto que se puede obtener es del 75%: 50% cuando coinciden los tres, luego 25% del tiempo coincidiendo con 90° y no con 0° y 25% del tiempo coincidiendo con 0° y no con 90°.

Así que para responder a tus preguntas:

1. Lo que realmente vemos: las mediciones a 45° coinciden el 85% del tiempo, las mediciones a 90° coinciden el 50% del tiempo. Esto sugiere que el ángulo de medición de una partícula tiene una correlación con los resultados de la medición en la otra partícula.
2. Dos cosas separadas. Si solo nos fijamos en los resultados de las mediciones a 45°, dice que las mediciones a 90° deben coincidir al menos el 70% del tiempo (70% cuando coinciden 0°, 45° y 90° más 15% para cada 0° y 90° cuando 45° coincide con uno y no con el otro). Sin embargo, si nos fijamos en 0° y 90°, entonces dice que 45° no puede coincidir con los otros dos más del 75% del tiempo (50% cuando los tres coinciden más 25% para cada ángulo cuando 45° coincide con ellos y no con el otro).
3. Las predicciones cuánticas dicen que puede haber una correlación entre el ángulo de medición de una partícula y el resultado de la medición en la otra, incluso cuando no hay suficiente tiempo entre la configuración final del ángulo de medición para una partícula y la medición de la otra para que la luz viaje entre las dos ubicaciones.
4. La correlación entre las partículas está conectada a las acciones realizadas en una de las partículas.
5. Yo solo discutiría con la redacción de "completamente aleatorio" para el ángulo de 90°.

Encontré esta página útil para comprender los conceptos generales involucrados.

Answer 4

Usaré fotones polarizados ya que son los más simples de entender. Además, para evitar confusiones, asumiremos que ambos fotones entrelazados tienen la misma polarización.

1. ¿Cuáles son las predicciones hechas por la mecánica cuántica?
2. ¿Cuáles son las predicciones hechas por el realismo local?

A continuación se muestra un gráfico de la predicción de la MC (azul) y las correlaciones del modelo local realista (rojo) (eje y) versus la diferencia en el ángulo entre los dos analizadores de polarización (eje x):

La predicción cuántica para la correlación es equivalente a una sola partícula que ha pasado por ambos polarizadores de los observadores en las posiciones en las que se encuentran, en el momento exacto en que las partículas son recibidas y es numéricamente equivalente a la ecuación de la Ley de Malus ($\cos^2(\Delta \theta)$) que predice la cantidad de luz que se transmite a través de dos polarizadores sucesivos con un ángulo de $\Delta \theta$ entre ellos. Dado que la Ley de Malus se puede representar como ($\cos^2(|A-B|)$) donde A es el ángulo del polarizador de Alice y B es el ángulo del polarizador de Bob, el modelo local realista tiene la tarea imposible de predecir el resultado de esa ecuación sin conocer tanto A como B.

La implicación es que cada partícula de alguna manera 'sabe' la posición del otro polarizador en el momento en que la otra partícula pasó a través de él, incluso si están separados de tal manera que no hay suficiente tiempo para que ninguna señal que viaje a la velocidad de la luz comunique esa posición. Esto implica una interacción no local.

El Teorema de Bell básicamente muestra que cualquier teoría que dependa de información pre-codificada (por muy bien escondida que esté) y/o de información que se transmita limitada a la velocidad de la luz, no puede coincidir con las predicciones de la Mecánica Cuántica y esto es confirmado por los resultados de experimentos reales.

Answer 5

(1) La mecánica cuántica predice que el 25% o más se correlacionará. (2) Bell dice que las variables ocultas deberían correlacionarse el 33% o más del tiempo. (3) La diferencia entre los dos es la desigualdad de Bell. (4) Son cosas diferentes a menos que yo malinterprete tu pregunta. Dos objetos están entrelazados si puedes medir u observar uno de ellos e instantáneamente saber algo sobre el otro. La conservación podría significar que alguna cantidad física en un sistema aislado es constante. (5) Tu descripción del realismo local parece complicada. Mi entendimiento es que una partícula no puede recibir sus instrucciones de una fuente distante que requeriría comunicación más rápida que la luz. En cambio, la partícula probablemente llevó consigo la instrucción desde su inicio.