Simplifica la siguiente expresión $$S_N = \sum_{n=0}^{N}\binom{N}{n} \frac{a^{N-n}}{n!} \frac{d^n}{dx^n} f(x), $$ donde $a$ es un número real y $f(x)$ es una función real analítica. ¿Qué es $\lim_n S_n$ ? ¿Existe un significado intuitivo simple?
Sólo he encontrado fórmulas que se acercan pero no son lo que necesito:
Sin el $n!$ en el denominador, la expresión se puede simplificar utilizando el Regla de Leibniz $$ \sum_{n=0}^{N}\binom{N}{n} a^{N-n} \frac{d^n}{dx^n} f(x) =e^{-ax}\frac{d^N}{dx^N}\left[ e^{ax} f(x)\right].$$ Sin el coeficiente binomial el Serie Taylor expansión de $f(x)$ alrededor de $x$ da $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{n=0}^{N} \frac{a^{N-n}}{n!} \frac{d^n}{dx^n} f(x) =a^N f\left(x+a^{-1}\right).$$
EDITAR : Con un paréntesis adicional $$\left[\sum_{n=0}^N \binom{N}{n}a^{N-n}\right]\left[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} \frac{d^n}{dx^n}f(x) \right] = (1+a)^N f(x+1) $$ Por otro lado $$ \lim_{z\rightarrow 0}\frac{1}{N!}\frac{d^N}{dz^N}\sum_n A_n z^n \sum_m B_m z^m = \lim_{z\rightarrow 0}\frac{1}{N!}\frac{d^N}{dz^N} \sum_{N} \sum_{n} A_{N-n}B_n z^N = \sum_n A_{N-n}B_n$$ así que combinando los dos anteriores $$\sum_n \binom{N}{n} \frac{a^{N-n}}{n!} \frac{d^n}{dx^n} f(x) = \lim_{z\rightarrow 0} \frac{1}{N!}\frac{d^N}{dz^N}\left[ (1+az)^N f(x+z)\right] $$ ¿Esto es correcto? ¿Existe una expresión más sencilla?
