Confundido sobre el desarrollo de una serie de Taylor de una función implica una integral

Question

Hay una función que me hace confuso:

$$f(x)=\int_{\frac{\pi}{2}}^x \frac{\cos(t)}{t-\frac{\pi}{2}}~dt$$

La pregunta que me quiere encontrar su serie de Taylor centrada en $a=π/2$ y no sé cómo, he intentado separar a $\cos(t)$ $\dfrac{1}{t-π/2}$ y hacer la serie de MacLaurin de $\cos(t)$, y luego se multiplica la serie por $\dfrac{1}{t-\frac{pi}{2}} ~dt$ . Pero al final, no termina como una serie de Taylor centrada en $π/2$, es más como una serie de MacLaurin : he encontrado $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!\cdot (t-\frac{π}{2})}$$

Por favor me podrían ayudar con esta serie ?

Se agradece un montón !

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\cos t = -\sin\left(t-\frac{\pi}{2} \right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)!}\left( t-\frac{\pi}{2}\right)^{2n+1}$$

Luego por la integración

\begin{align}f(x) &= \int^{x}_{\pi/2}\frac{1}{t-\pi/2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)!}\left( t-\frac{\pi}{2}\right)^{2n+1}\,dt\\&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)!}\int^{x}_{\pi/2}\left( t-\frac{\pi}{2}\right)^{2n}\,dt \\&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)!}\int^{x-\pi/2}_{0}t^{2n}\,dt \\&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}\left(x-\frac{\pi}{2} \right)^{2n+1} \end {Alinee el}

Answer 2

Yo creo que son más de-el pensamiento de este. Una serie de taylor de una función f, por definición, es $$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 +...$$ Específicamente, $f(a) = f(\pi/2)= \int_{\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos t}{t-\pi/2}dt=0$ debido a que tanto los límites de integración son iguales. A continuación tenemos que utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo que dice que si $f(x) = \int_c^{u(x)}g(t)dt$$f'(x) = g(u(x))\cdot u'(x)$. En el caso, $$f'(x) = \frac{\cos (x)}{x-\pi/2}$$ If we plug in $\pi/2$ for $x$ we get $0/0$ so we take the limit and use LHopital's rule $$\lim_{x \rightarrow \pi/2}\frac{\cos (x)}{x-\pi/2}= \lim_{x \rightarrow \pi/2} \frac{-\sin(x)}{1}=-1.$$ Vamos a tomar un poco más de derivados (esperemos que surge un patrón) $$f''(x) = \frac{-\sin(x)(x-\pi/2)-\cos(x)}{(x-\pi/2)^2}$$ De nuevo, conectar $\pi/2$ nos $0/0$ así que de nuevo tomamos el límite $$\lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{-\sin(x)(x-\pi/2)-\cos(x)}{(x-\pi/2)^2} = \lim_{x \rightarrow \pi/2} \frac{-\cos(x)(x-\pi/2) - \sin(x)+\sin(x)}{2(x-\pi/2)}=0$$ . I still don't see a pattern maybe one will emerge if we take more derivatives, in any case, every coefficient of the sequence is well defined and can be found analytically. So $$f(x)= 0 -1(x-\pi/2)+0 + O((x-\pi/2)^3)$$ Tengo una persistente sospecha de que todas las condiciones son 0, pero esto se lo dejo como ejercicio para el lector (traducción: no tengo ganas de hacerlo). Espero que me ayudó.