Demostrar que un conjunto no es contable usando el argumento de Diagonalización

Question

Definimos la siguiente relación de equivalencia en $\mathbb{R}$: $a \equiv_\mathbb{Q} b$ si $a-b \in\mathbb{Q}$. Deje $A \triangleq \mathbb{R}/\equiv_\mathbb{Q}$ ser el cociente conjunto.

El uso de diagonalización para mostrar que $A$ no es contable.

Podemos tomar todos el representante del intervalo de $[0,1]$: diferentes representantes son el único números irracionales en $[0,1]$$[0]=\mathbb{Q}$.

Necesito mostrar que para cada $f:\mathbb{N}\to A$ existe alguna $[a]\in A\setminus f(\mathbb{N})$. Es suficiente para encontrar algo de $a\in\mathbb{R}$ s.t. $a \not\equiv_\mathbb{Q} r_n$ todos los $n\in\mathbb{N}$ donde $[r_n]=f(n)$. ¿Cómo se hace para "construir" una $a$?

Pista?

Answer 1

Esta pregunta podría sólo ser contestada correctamente por la persona que se asigne, y que tiene una particular solución "correcta" en la mente.

Aquí está mi propuesta (una cuestión de gusto tal vez, acerca de cómo exactamente se hace). Lista de los racionales $\mathbb Q$ $\{q_1,q_2,q_3,\dots\}$ y deje $Q_n = \{q_1,q_2,\dots, q_n\}$. A continuación, cada una de las $Q_n$ es finito, y $\mathbb Q$ es el aumento de la unión de la $Q_n$. Para cada una de las $x$ deje $x+Q_n= \{x+q:q\in Q_n\}$. Claramente $x+Q_n$ es finito para cada una de las $x$ y cada una de las $n$.

Dado $f:\mathbb{N}\to A$, elija un representante de $x_n\in f(n)$. Deje $I_0=[0,1]$ y de forma recursiva de selección no degenerada intervalos cerrados $I_n$, $n\ge1$, tal que $I_{n+1}\subseteq I_n$ (para todos los $n\ge0$), y $I_n\cap(\bigcup_{1\le k\le n}(x_k+Q_n) =\emptyset$. Esto es posible desde la $\bigcup_{1\le k\le n}(x_k+Q_n)$ es finito, para cada una de las $n$. A continuación, la secuencia de intervalos cerrados $I_n$ está disminuyendo (y cada intervalo de tiempo es acotado, y también podría haber pedido que la longitud de $I_n$ es en la mayoría de las $\frac1n$, por conveniencia), por lo tanto, hay un $x\in\bigcap_{n\ge1}I_n$. A continuación,$[x]\in A\setminus f(\mathbb N)$, lo que completa la prueba.