Usted acaba de alquilar una casa grande y el agente de bienes raíces le dio cinco llaves, una para el frente de la puerta y los otros cuatro para cada uno de los cuatro laterales y puertas traseras de la casa. Por desgracia, todas las claves parecen idénticos, así que para abrir la puerta del frente, se ve obligado a tratar de ellos al azar. Encontrar la distribución y la expectativa de que el número de ensayos que se necesita para abrir la puerta frontal. (Suponga que puede marcar una tecla después de haber intentado abrir la puerta de la casa con ella y no funciona.)
Empecé a hacer este problema mediante el establecimiento de r.v. $X$ a ser el número de ensayos (teclas) usted tiene que tratar con el fin de desbloquear la puerta delantera. A continuación, con el fin de encontrar la distribución, sé que tengo que encontrar la probabilidad de éxito de cada serie de ensayos.
Esto es lo que se me ocurrió
X Pr[X] 1 1/5 2 1/4 3 1/3 4 1/2 5 1/1Pensé que esto era cierto, porque, por ejemplo
La probabilidad de 1 apertura de la llave de la puerta principal es 1/5
La probabilidad de que 2 llaves de apertura de la puerta es de 1/4, porque una de las claves ya se han marcado como incorrecto (muestreo sin reemplazo)
Sin embargo, la respuesta resultó ser este:
Estoy confundido en cuanto a por qué $Pr[K=2] = \frac{4}{5} \times \frac{1}{4}$ ... donde esos valores? Creo que si entiendo que el método utilizado para el primero que puedo imaginar el resto
Respuestas
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Eres el razonamiento no puede ser correcta, ya que afirman que hay un $100$% de probabilidad de que $X=5$. Lo que en realidad se calcula es el probaility que el $n^{th}$ clave será correcta dado que todas las claves anteriores son incorrectas. Pero esta es una clara probabilidad.
Por ejemplo, considere el escenario $X=2$. Que es, el primero no funciona, y luego el segundo. La probabilidad de que el primero no funciona es $\frac 4 5$, y la probabilidad de que el segundo hace el trabajo, dado que el primero no es $\frac 1 4$, como se razonó. Por lo tanto, el total de la probabilidad es el producto de estos dos números, es decir,$\frac 1 5$.
He aquí otra manera de pensar acerca de este problema: para cada una de las $1\leq n \leq 5$, la probabilidad de que la clave correcta es la a $n^{th}$ un tratado es el mismo independientemente de la $n$, desde ninguna posición en esta secuencia es el preferido. Por lo tanto, $P[X=n]=\frac 1 5$ por cada $n$.
$K=2$ Debe considerar también al primer intento así. Es decir, la probabilidad de falla. $4$ claves de $5$ claves son incorrectos y luego una llave puede abrir la puerta. Esto se convierte en $(\frac{4}{5})(\frac{1}{4})$.
En general, la probabilidad de éxito en el $K$ de prueba (suponiendo independencia) es el producto de la probabilidad de falla en los primeros ensayos de $K-1$, multiplicado por la probabilidad de éxito en el último intento.
