Si $j$ es una variable continua, entonces la diferenciación de la función de $f(j)=j(j+1)$ con respecto al $j$ da $f'(j)=2j+1$. Por supuesto, he elegido la carta para evocar la mecánica cuántica momento angular, en cuyo caso, por entero o de medio entero de los valores de $j$ podemos interpretar estas dos expresiones como el autovalor del cuadrado del momento angular y la multiplicidad del momento angular.
Hay alguna bonita interpretación de esto? Como yo estaba buscando en la lista generada de forma automática de "Preguntas que puedan tener ya su respuesta," me encontré con un comentario que pide exactamente la misma pregunta.
Una de las razones para creer que esto no tiene ninguna interpretación muy especial es que desde el real de la variable es discreta, el derivado $f'$ realmente representan una aproximación a la división de la diferencia, y la diferencia relevante para un cambio de unidad en $j$ no es necesariamente igual a la derivada a menos que evaluar la derivada en el lugar correcto.
A mí me parece que hay una segunda razón, de no esperar nada especial aquí, que es que la correspondencia no parece funcionar, salvo en tres dimensiones. Para un rotor en $d$ dimensiones, el autovalor del cuadrado del momento angular operador es $j(j+d-2)$. Yo no sé cuál es la multiplicidad de los estados es en general, pero supongo que es un polinomio de orden $d-2$. E. g., para $d=2$, la multiplicidad es de 2 ($m=\pm j$), que no es igual que el derivado de la $j(j+d-2)=j^2$. Por otro lado, supongo que es posible que exista una buena interpretación, y la buena interpretación nos dice que hay algo especial acerca de tres dimensiones.
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