¿Una suma, se trata de $S \to \ln 2$?

Question

Estoy en duda con esta pregunta.

¿que $S=\dfrac{\dfrac12}{1} +\dfrac{(\dfrac12)^2}{2}+\dfrac{(\dfrac12)^3}{3}+\dfrac{(\dfrac12)^4}{4}+\dfrac{(\dfrac12)^5}{5}+...$ es convergen a $\ln 2$?

Probé este $$x=\dfrac12 \to 1+x+x^2+x^3+x^4+...\sim\dfrac{1}{1-x}\to 2$$ by integration wrt x we have $$\int (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 +...) ¿DX = \int (\dfrac{1}{1-x})dx \to\\ x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^4}{4}+...=-\ln(1-x) $$then put $x=0.5$ $$\dfrac{\dfrac12}{1} +\dfrac{(\dfrac12)^2}{2}+\dfrac{(\dfrac12)^3}{3}+\dfrac{(\dfrac12)^4}{4}+\dfrac{(\dfrac12)^5}{5}+..\sim -\ln(0.5)=\ln 2$$ ahora mi pregunta es: es mi verdadero trabajo?
Estoy agradecido por la sugerencia, guía, idea o soluciones. (Olvidé algunas técnicas de cálculo)

Answer 1

Sí.

Esta serie ya era conocido a Jacob Bernoulli (Gourdon y Sebah http://plouffe.fr/simon/articles/log2.pdfla fórmula 14) y puede ser escrito

$$S=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{k+1}$$

Para evaluar esto, se puede cambiar la identidad

$$\int_0^1 x^n dx = \frac{1}{n+1}$$

en

$$\int_0^\frac{1}{2} x^n dx = \frac{1}{n+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$$

y, a continuación,

$$\begin{align} S&=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{k+1}\\ &=\sum_{k=0}^\infty \int_0^\frac{1}{2} x^k dx \\ &=\int_0^\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^\infty x^k\right) dx\\ &=\int_0^\frac{1}{2} \frac{1}{1-x} dx\\ &=-\log(1-x)|_0^\frac{1}{2}\\ &=\log(2) \\ \end{align}$$

Una buena manera de codificar fórmulas como

$$\log(2)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n2^n}$$ se observa que el numerador es uno de modo que la secuencia de enteros denominadores puede representar la serie. Cuando hacemos búsquedas en OEIS para $2,8,24,64$ (http://oeis.org/A036289vemos que

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a(n)} = \log(2)$$ es una de las fórmulas dadas.

Su serie es un base-2 BBP-escriba la fórmula para $\log(2)$. La base-3 versión es

$$\log(2)=\frac{2}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)9^k} $$

y la secuencia de los denominadores es OEIS http://oeis.org/A155988.

Answer 2

Para completar, usted shoud muestran que la serie $1/(1-x)$ es uniformemente convergente en $[0,1/2]$.

Como

$$\left|S_n-\frac1{1-x}\right|=\left|\frac{1-x^{n+1}}{1-x}-\frac1{1-x}\right|=\left|\frac{x^{n+1}}{1-x}\right|\le\left|\frac1{2^n}\right|$ $ Esto es asegurado y puede integrar term-wise.

Answer 3

Tu trabajo es bueno, pero puede ser mejor, justificado con la teoría de la energía de la serie.

El dado de la serie es un ejemplo de la potencia de la serie $$ f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k} $$ para $x=1/2$. El poder de la serie tiene radio de convergencia $1$; de hecho, la prueba de razón de da $$ \left|\frac{x^{k+1}/(k+1)}{x^k/k}\right|=\frac{k}{k+1}|x|\a |x| $$ Así que usted sabe que su serie converge para $|x|<1$.

La función de $f$, definido $(-1,1)$, es diferenciable y $$ f'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}x^{k-1}=\sum_{k=0}^{\infty} x^k=\frac{1}{1-x} $$ (serie geométrica). Desde $f(0)=0$, se puede concluir que, para $x\in(-1,1)$, $$ f(x)=\int_0^x\frac{1}{1-t}\,dt=-\ln(1-x) $$ Por lo tanto $$ f(1/2)=-\ln\Bigl(1-\frac{1}{2}\Bigr)=\ln2 $$