Cómo encontrar el límite de esta relación de recurrencia

Question

Estoy tratando de resolver una cuestión que requiere de mí para resolver este problema.

Dado que el $a_0=a_1=a_2=a_3=a_4=0$ $a_5=1$ y

$$a_{n+6}=\dfrac{a_{n+5}+a_{n+4}+a_{n+3}+a_{n+2}+a_{n+1}+a_{n}}{6}$$ find the limit of$a_n$ as $n$ enfoques infinito.

Probé varios enfoques, pero que no parecen funcionar, tales como encontrar el punto fijo de la recurrencia o encontrar el límite de la forma cerrada de la recurrencia de la que no existen. Sin embargo, he calculado los valores de $a_n$ $10000$ y la respuesta parece muy cerca de $2/7$

Yo soy no se busca solución completa, más bien me gustaría saber si alguien puede me apunte en la dirección correcta, tan solo una sugerencia, sería suficiente.

Answer 1

La función generadora de la secuencia es %#% $ #% nota que uno de los polos es $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n=\frac{6z^5}{6-z-z^2-z^3-z^4-z^5-z^6}.$ y los otros son todos números complejos fuera de la disco $1$. Por lo tanto, $|z|\leq 1$ $ si reemplazamos $$\lim_{n\to\infty}a_n=-\mbox{Res}(f,1)=\frac{6}{1+2+3+4+5+6}=\frac{2}{7}.$ $6$, utilizando el mismo enfoque, encontramos que el límite es de $N$ $

Answer 2

Voy a usar la misma idea que en esta pregunta:

Límite de la secuencia en la que cada término es definido por el promedio de los dos anteriores términos

$$6a_{n+6}=a_{n+5}+a_{n+4}+a_{n+3}+a_{n+2}+a_{n+1}+a_{n}$$

Ahora calcular algunos casos:

$$6a_{6}=a_{5}+a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}$$ $$6a_{7}=a_{6}+a_{5}+a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}$$ $$6a_{8}=a_{7}+a_{6}+a_{5}+a_{4}+a_{3}+a_{2}$$ $$6a_{9}=a_{8}+a_{7}+a_{6}+a_{5}+a_{4}+a_{3}$$ $$6a_{10}=a_{9}+a_{8}+a_{7}+a_{6}+a_{5}+a_{4}$$ $$6a_{11}=a_{10}+a_{9}+a_{8}+a_{7}+a_{6}+a_{5}$$ $$...$$

cuando mantenemos la escritura y la suma de cada ecuación vemos que todos los términos de $a_i$ $6\le i\le n-6$ será cancelado en ambos lados.

Hemos de conseguir:

$$6a_{n}+5a_{n-1}+4a_{n-2}+3a_{n-3}+2a_{n-4}+a_{n-5}=6a_{5}+5a_{4}+4a_{3}+3a_{2}+2a_{1}+a_{0}=6$$

y si $a_n\to L$

$$6L+5L+4L+3L+2L+L=6\to L=\frac{2}{7}$$

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

Siguiente $\texttt{@Robert Z}$$\,\,\,$ respuesta:

\begin{align} \mc{F}\pars{z} & \equiv {6z^{5} \over 6 - z - z^{2} - z^{3} - z^{4} - z^{5} - z^{6}} = {6z^{5} \over 6 - z\pars{1 - z^{6}}/\pars{1 - z}} \\[5mm] & = 6\,{z^{5} - z^{6} \over z^{7} - 7z + 6} = \sum_{p}r_{p}\pars{{1 \over z - p} + {1 \over p}} \\[5mm] \mbox{where}\qquad & \left\{\begin{array}{l} \ds{p^{7} -7p + 6 = 0} \\[2mm] \ds{\left.r_{p}\right\vert_{\ p\ \not=\ 1} \equiv {6 \over 7}\,{p^{5}\pars{1 - p} \over p^{6} - 1}\,,\qquad r_{1} \equiv -\,{2 \over 7}} \\[2mm] \ds{r_{p}}\ \mbox{is the}\ residue\ \mbox{at pole}\ p. \end{array}\right. \\[5mm] \mbox{Nota que}\quad & \a la izquierda.r_{p}\right\vert_{\ p\ \=\ 1} = {1 \over 7}\,{p^{6}\pars{1 - p} \over p^{7} - p} = {6 \más de 7}\,{p^{6}\pars{1 - p} \\pars{7p - 6} - p} = {1 \over 7}\,{p^{6}\pars{1 - p} \over p - 1} = -\,{p^{6} \más de 7} \end{align}

---

Con $\ds{0 < a < \min\braces{\verts{p}}}$:

\begin{align} a_{n} & = \oint_{\verts{z} = a}{\mc{F}\pars{z} \over z^{n + 1}}\,{\dd z \over 2\pi\ic} = {1 \over n!}\,\lim_{z \to 0}\,\totald[n]{\mc{F}\pars{z}}{z} = {1 \over n!}\,\lim_{z \to 0} {\sum_{p}r_{p}\,{\pars{-1}^{n}n! \over \pars{z - p}^{n + 1}}} = -\sum_{p}{r_{p} \over p^{n + 1}} \\[5mm] & = - r_{1} + {1 \over 7}\sum_{p \not= 1}{1 \over p^{n - 5}} = {2 \over 7} + {1 \over 7}\sum_{p \not= 1}{1 \over p^{n - 5}} \implies \bbx{\lim_{n \to \infty}a_{n} = {2 \over 7}} \end{align}

El $\ds{\,\mc{F}\pars{z}}$ de los polacos, que son diferentes de uno, tiene magnitud mayor que $\ds{\color{#f00}{one}}$ !!!.

Answer 4

Sugerencia: calcular el siguiente pocos términos de la repetición, que le dará una idea bastante clara de cuál debe ser la forma cerrada. Usted puede comprobar esto por inducción, y entonces el límite debe ser claro.