Dado que $a\cos\theta+b\sin\theta+A\cos 2\theta+B\sin 2\theta \leq 1$ para todos $\theta$ , demuestre que $a^2+b^2\leq 2$ y $A^2+B^2 \leq 1$

Question

Intenté resolver esta cuestión pero las cosas se complicaron demasiado y, por lo tanto, mis esfuerzos fueron completamente inútiles.

Dejemos que $a,A,b,B \in \mathbb{R}$ y $$F(\theta)= 1- a\cos \theta - b\sin \theta- A\cos 2\theta- B\sin 2\theta$$ Se da que $$F(\theta) \ge 0 \;\forall\; \theta $$ y tenemos que demostrar que $\color{red}{a^2+b^2 \le 2}$ y $\color{green}{A^2+B^2 \le 1}$ .

MI INTENTO

Tenemos que demostrar que $$a\cos \theta + b\sin \theta+A\cos 2\theta+ B\sin 2\theta \le 1$$ $$\begin{align} & = a\cos \theta + b\sin \theta+A( \cos^2 \theta- \sin^2 \theta)+ B \sin \theta \cdot \cos \theta + B \sin \theta \cdot \cos \theta \le 1 \\ & =\ cos \theta (a+A \cos \theta+ B \sin \theta)+\sin \theta(b-A \sin \theta+B \ \cos \theta) \le1 \\ \end{align}$$

Sabemos que $-\sqrt{x^2 + y^2} \le x \cos \theta + y \sin \theta \le \sqrt{x^2 + y^2}$ $$\Rightarrow (a+A \cos \theta+ B \sin \theta)^2 + (b-A \sin \theta+B \ \cos \theta)^2 \le 1$$ Tras resolver esta ecuación obtenemos $$a^2 + b^2 + 2(A^2 +B^2)+ \cos \theta (2aA+2bB) + \sin \theta (2aB-2bA) \le1$$

Ahora bien, si vuelvo a aplicar la misma propiedad, ciertamente las cosas se van a complicar más y por eso creo que mi planteamiento no es del todo correcto. Por favor, ayúdeme con esta pregunta.

Answer 1

Tenemos $$0 \leq F(\theta) + F(\theta + \pi) = 2 - 2(A \cos 2\theta + B \sin 2\theta).$$

Dejemos que $u$ sea el vector $(A,B)$ . Escoge $\theta$ para que $v = (\cos 2\theta, \sin 2\theta)$ es un vector unitario en la misma dirección que $u$ . Entonces

$$\sqrt{A^2 + B^2} = |u| = u \cdot v = A \cos 2\theta + B \sin 2\theta \leq 1.$$

Para la segunda parte, escribe $$0 \leq F(\theta) + F(\theta + \pi/2) = 2 - (b + a)\cos \theta - (b- a)\sin \theta.$$

Ahora escoge $\theta$ para que $v = (\cos \theta,\sin \theta)$ es un vector unitario en la misma dirección que $u = (b + a,b - a)$ . Entonces $$\sqrt{2}\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(b + a)^2 + (b - a)^2} = |u| = u \cdot v \leq 2.$$

Answer 2

He aquí otro enfoque (?): definir $c=a-bi$ , $d=A-Bi$ . Entonces se nos da que $$ \operatorname{Re}(cz+dz^2)\le 1,\quad\forall z\in\Bbb C\colon |z|=1.\tag{1} $$ Sustitución de $z$ con $-z$ y con $iz$ en (1) obtenemos dos desigualdades más \begin{eqnarray} z\mapsto -z:\quad\operatorname{Re}(-cz+dz^2)\le 1,\quad\forall z\in\Bbb C\colon |z|=1,\tag{2}\\ z\mapsto iz:\quad\ \operatorname{Re}(icz-dz^2)\le 1,\quad\forall z\in\Bbb C\colon |z|=1.\tag{3} \end{eqnarray} Sumando (1) y (2) se obtiene $$ \operatorname{Re}(dz^2)\le 1,\quad\forall z\in\Bbb C\colon |z|=1\quad\Leftrightarrow\quad |d|\le 1. $$ Del mismo modo, sumando (1) y (3) se obtiene $$ \operatorname{Re}((1+i)cz)\le 2,\quad\forall z\in\Bbb C\colon |z|=1\quad\Leftrightarrow\quad |(1+i)c|\le 2. $$