Resolver una ecuación trigonométrica $x$

Question

Quiero resolver para $x$ $$ {{2}^{{{\sin }^{4}}x-{{\cos }^{2}}x}}-{{2}^{{{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{2}}x}}=\cos 2x $ $but no sé cómo empezar. Sustituir el $\sin x$ o $\cos x$ $y$ me llevó en ningún lugar debido al lado derecho.
Una de las soluciones que he encontrado es $x=\pi/4$ pero podría haber más soluciones aunque.

Answer 1

Que $u=\sin^2(x)$ y $v=\cos^2(x)$ y $2^{u^2-v}-2^{v^2-u} = v-u$ y $u+v=1$. Así $2^{u^2+u-1}+u = 2^{v^2+v-1}+v$.

Definir $f(u) = 2^{u^2+u-1}+u$, entonces estamos buscando un $u\in[0,1]$ tal que $f(u)=f(1-u)$. Sin embargo $f^\prime(u) = \ln(2)(2u+1)2^{u^2+u-1}+1>0$ % todos $u\in[0,1]$. Por lo tanto es inyectiva en $f$$[0,1]$ y $f(u)=f(1-u)$ si y sólo si $u=1-u$. Así $\sin^2(x)=u=\frac{1}{2}$.

Answer 2

El lado izquierdo de la ecuación es mayor que $0$ si y sólo si la derecha es menor que $0$ y viceversa. Esto sigue de %#% $ de #% por lo tanto todas las soluciones posibles corresponden a ceros de la derecha (que son también automáticamente ceros de la izquierda). Esto da $$ [\sin^4x-\cos^2x]-[\cos^4x-\sin^2x]=-\left(\cos^2x-\sin^2x\right)(\cos^2x+\sin^2x+1)=-2\cos2x.$.

Answer 3

Poner $\cos^2x=a,$

$\sin^4x-\cos^2x=(1-a)^2-a=a^2-3a+1$ and $\cos^4x-\sin^2x=a^2-(1-a)=a^2+a-1$

Así conseguimos, $2^{a^2-3a+1}-2^{a^2+a-1}=2a-1$

o, $2^{a^2-3a+1}(1-2^{4a-2})=2a-1$

Si $2a-1>0,$ $4a-2>0\implies 2^{4a-2}>2^0=1\implies $ el lado izquierdo es $<0$

Del mismo modo, si $2a-1<0$ el derecho lado es $>0$

Si convertirse en ambos lados de $2a-1=0,$ $0$

$\implies 2\cos^2x-1=0\iff \cos2x=0\implies 2x=(2n+1)\frac{\pi}2$ $n$ Dónde está cualquier número entero

Answer 4

Estudiamos la inyectabilidad función $f:[0, 1]\rightarrow R$, $f(t)= 2^{t^{2}+t-1}+t$

$f(t)= f(u)$participación $t=u$ y $sin^{2}x=cos^{2}x$...