Serie de Maclaurin; $\sin{x}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-....$, y sabemos que ese período de $\sin{x}$ es $2π$ ya $\sin{(x+2π)} = \sin{x}$. Pero si consideramos sólo el lado derecho de la serie anterior, entonces ¿cómo podemos decir esta expresión (serie) es también del período $=2π$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Taye
Puntos
81
Considerar el % de la función exponencial $f(x)=e^{ix}$para la notación más sencilla, cubriendo $\sin (x)$ y $\cos (x)$ a la vez. Que $g(x):=f(x+L)$ donde $L=2\pi$. Incluye las expansiones de la serie por
$f(x)=\sum_{k=0}^\infty f_k x^k$ y
$g(x)=\sum_{k=0}^\infty g_k x^k$,
respectivamente. Sabemos que $f_k=i^k/k!$. Encontramos desde el teorema del binomio que
$g_l=\sum_{k=l}^\infty \frac{i^k}{k!}\binom{k}{l}L^{k-l}=\sum_{r=0}^\infty \frac{i^{r+l}}{r! l!}L^r=\frac{i^l}{l!}\sum_{r=0}^\infty \frac{i^r}{r!}L^r=f_l f(L)$
Por lo tanto, $g(x)=f(x)\Leftrightarrow \forall l: g_l=f_l \Leftrightarrow f(L)=1$.
La parte restante es mostrar que $f(L)=e^{i2\pi}=1$.
Paramanand Singh
Puntos
13338
Ampliando el comentario que me has dado quiero en primer lugar dar la prueba de $\sin (x + y)$ fórmula. Primero definimos $$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \cdots $$ and by differentiation of power series $(\sen x)'= \cos x, (\cos x)' = -\sin x$.
Vamos a definir $$f(z) = 1 + z + \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{3}}{3!} + \cdots$$ for all complex $z$. Then by using rule for multiplication of two series we can show easily that $f(z_{1} + z_{2}) = f(z_{1})f(z_{2})$. Now it can be easily seen (by putting $z = ix$ in definition of $f(z)$) that $f(ix) = \cos x + i\sin x$ so that $f(i(x + y)) = f(ix + iy) = f(ix)f(iy)$ and therefore $$\cos(x + y) + i\sin (x + y) = (\cos x + i\sin x)(\cos y + i\sin y)$$ so that $\cos(x + y) = \cos x\cos y - \sin x\pecado y$ and $\sin (x + y) = \sin x\cos y + \cos x \pecado y de$.
De nuevo teniendo en cuenta $g(x) = \cos^{2}x + \sin^{2}x$ que puede mostrar a través de la diferenciación de las fórmulas que $g'(x) = 0$, de modo que $g(x)$ es constante. Claramente, ya que $\sin 0 = 0, \cos 0 = 1$ tenemos $g(x) = g(0) = 1$. Así que prueba la identidad fundamental $\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$
El uso de las fórmulas de arriba y $\cos(\pi/2) = 0$ (tenga en cuenta que hemos definido $\pi/2$ a ser el más pequeño positivo de la raíz de $\cos x = 0$), se puede demostrar fácilmente que el $\sin (x + 2\pi) = \sin x$.
