estructura del grupo simétrico completo en un conjunto infinito numerable

Question

tratando de conseguir una manija en la totalidad del grupo simétrico $S$ de las permutaciones en una contables set $X$. yo realmente nunca había pensado mucho sobre este grupo, pero ahora que lo mire por primera vez parece más compleja idea de lo que yo había asumido ingenuamente. voy a limitar mi expresión de desconcierto a una pregunta bastante sencilla, pero cualquier otra entrada en este grupo sería muy apreciada. disculpas de antemano si lo que he escrito resulta ser una tontería. (por desgracia, esto ocurre con una frecuencia alarmante)

para cualquier elemento $g \in S$ tenemos un discontinuo de descomposición:

$$ X= \sigma_g \cup \tau_g $$ con $$ \sigma_g \cap \tau_g = \emptyset $$ donde $\sigma_g$ es el conjunto de puntos fijos por $g$

si $S_* = \{g \in S \mid \text{card}(\tau_g) \lt \aleph_0 \} $, entonces parece que $S_*$ debe ser un subgrupo normal de $S$

(yo sólo he notado un comentario por @ArturoMagidin que me hace más seguro para hacer esta afirmación. sin embargo, la discusión en ese lugar no solo fuera de countably infinito grupos en particular, y es muy dependiente de algunas referencias bibliográficas que son bastante oscuros. me gustaría una simple explicación de sentido común, si es que es posible)

alguien me puede ayudar a mejorar mi lugar nebuloso de la concepción de que el factor grupo ${S}/{S_*}$ y su relación con la $S^* =\{g \in S \mid \text{card}(\sigma_g) \lt \aleph_0 \} $ ?

gracias

Answer 1

Solo para aclarar un par de puntos básicos.

El pleno del grupo simétrico $S$ en un countably conjunto infinito $X$ es de hecho bien definida hasta el grupo de isomorfismo. (Lo mismo se aplica a los conjuntos de $X$ con cualquier cardinalidad.)

$S_*$ es de hecho un subgrupo normal de $S$. Es fácil ver que $g^{-1}hg \in S_*$ todos los $g \in S$$h \in S_*$.

De hecho, se puede demostrar que $S$ tiene precisamente cuatro subgrupos normales, $1$, $S$, $S_*$, y el grupo la $A_*$ de todas las permutaciones en $S_*$. (Ya que los elementos en $S_*$ mover sólo un número finito de puntos, que puede ser definido de manera inequívoca como par o impar. Pero no hay manera significativa de adjuntar una paridad a los elementos de $S \setminus S_*$.) El grupo $A_*$ es simple.

No tengo clara la concepción de que el cociente de grupo $S/S_*$ a mí, así que no puedo ayudarte a comprender de forma intuitiva! Pero es un grupo simple.

Answer 2

Revisa este documento de Alperin/Covington/Macpherson y referencias allí (parece estar libre de citeseer). Analizan el grupo de automorophism de su cociente de misterio, que debería decirte un poco acerca de la estructura.