Sea G un grupo de orden $n$, donde $n$ es un número entero positivo relativamente privilegiada a $\varphi(n)$. Demostrar que G es cíclico.

Question

Sea G un grupo de orden $n$ donde $n$ es un número entero positivo primo relativo a $\varphi(n)$. Demostrar que G es cíclico.
Usted sólo puede asumir la Feit-Thompson teorema de aquí y demostrar de la siguiente manera:
(1) $n$ es un producto de impares, números primos y squarefree.
(2) a Continuación, $G$ es solucionable. Mostrar que tiene un cíclica cociente de primer orden, que es que hay un epimorphism $G\to H$ $H$ cíclico de primer orden. Deje $N$ ser el kernel. (Sugerencia: el uso de la composición de la serie)
(3)Muestran que la $G\cong N \times H$ y, a continuación, probar $G$ es abelian.
(4)Demostrar que $G$ es cíclico.

Me han demostrado (1), pero se queda bloqueado en el paso 2. Hay alguna ayuda? Gracias.

Answer 1

Si $G$ es soluble, entonces tiene una serie de soluble, como $$G = G_0 \supseteq G_1 \supseteq \cdots \supseteq G_n = \{e\}$$ which can be refined to a solvable composition series. So we can assume $ G_0, G_1,..., G_n $ is a solvable composition series, i.e. $ G_i \triangleleft G_{i+1}$ and $G_{i+1}/G_i$ is simple and abelian, i.e. cyclic of prime order. Thus $G/G_1$ is cyclic of prime order, and the canonical map $$G \rightarrow G/G_1$$ has kernel $G_1$. Es (2), y no estoy seguro de cómo hacer parte (3).