¿Puedo especificar las longitudes del borde de un poliedro simplicial?

Question

Deje $X$ ser un poliedro convexo en $\mathbb{R}^3$ cuyas caras son todas triángulos, y deje $\ell$ ser una función que asigna un número real positivo a cada borde de $X$.

Decimos que $\ell$ es realizable si existe un poliedro convexo isomorfo a $X$ cuyo borde correspondiente longitudes están dadas por $\ell$.

Mi pregunta es:

Bajo qué condiciones se $\ell$ ser realizable?

Hay dos evidente condiciones que $\ell$ debe satisfacer:

1. Para cada triángulo $a,b,c$ de los bordes, los números de $\ell(a),\ell(b),\ell(c)$ debe satisfacer la desigualdad de triángulo.

2. Si calculamos el "ángulos" de cada triángulo usando la ley de cosenos, entonces la suma de los ángulos en cada vértice debe ser menor que $2\pi$.

Son estas condiciones suficientes? O hay oculto obstrucciones a especificar las longitudes de los bordes de una simplicial poliedro?

Nota: estoy bastante seguro de que las condiciones dadas son suficientes en el caso de que $X$ es un tetraedro (ver el argumento en mi comentario de abajo), por lo que el primer caso que no estoy seguro es de que el octaedro.

Answer 1

Sí. De acuerdo a Fedorchuk y Pak (véase la sección 2.6), este es un teorema de Aleksandrov. Fedorchuk y Pak decir

Hasta hace poco, [Aleksandrov] el trabajo era algo pasado por alto en el Oeste. Incluso ahora [2005] no se ha publicado ninguna exposición de la prueba en inglés. El lector interesado deberá consultar [Aleksandrov del libro] o su traducción al alemán.

(Las cosas en corchetes son mías inserciones.)

Aleksandrov el libro fue publicado en ruso en la década de 1950 y traducido al inglés en el año 2005 (confusamente, Fedorchuk y Pak citar la traducción al inglés, aunque afirman que nada de inglés de la exposición está disponible). Rozando el Capítulo 4 se sugiere que la prueba. Aleksandrov da varias referencias a documentos anteriores pero, por desgracia, la búsqueda de Libros de Google no ha incluido su bibliografía!

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Hay un hecho más fácil que resultó en 1916 por Dehn, la cual es que su resultado es infinitamente verdadero. (Dehn, "Über die Strakheit knovexer Polyeder." De matemáticas. Ann. 77, 466-473, (1916). No parece estar disponible en formato digital.) Es decir, fix $\Delta$ una combinatoria tipo de nidos esfera, con $n$ vértices, por lo $3n-6$ bordes. El conjunto de todos los convexo incrustaciones de $\Delta$ a $\mathbb{R}^3$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{3n}$; llamarlo $\tilde{U}(\Delta)$. Tomando las longitudes de los bordes da un buen mapa de $\ell: \tilde{U}(\Delta) \to \mathbb{R}^{3n-6}$. Dehn del teorema es que la matriz Jacobiana de este mapa tiene rango $3n-6$, y por lo tanto, por el multivariante teorema de la función implícita, es local de izquierda invertible.

Un aspecto diferente de este resultado es generalmente enfatizó. Elige un vértice $v$, edge $e$ contiene $v$ y la cara $f$ contiene $e$$\Delta$. Podemos normalizar nuestros polytopes suponiendo que $v$$(0,0,0)$, el borde de la $e$ es paralela a la $x$-eje y la cara $f$ $(x,y,z)$ plano. Deje $U(\Delta)$ ser el subconjunto de $\tilde{U}(\Delta)$ con esta normalización. A continuación, $\dim U(\Delta) = 3n-6$ (tres dimensiones de la traducción y tres de rotación se normalizaron a partir de $\tilde{U}(\Delta)$). Por lo $\ell: U(\Delta) \to \mathbb{R}^{3n-6}$ es un mapa entre los espacios de la misma dimensión, y Dehn del teorema establece que la matriz Jacobiana de la mapa es invertible. La gente por lo general se centran en el hecho de que esto significa que usted no puede "flex" $\Delta$: no Hay movimiento infinitesimal de $\Delta$ que mantiene todo el borde longitudes constante, aparte de traslaciones y rotaciones.

Para una breve prueba de Dehn del teorema, ver Pak, Un corto de prueba de la rigidez de la convexo polytopes.