La definición de span

Question

En Álgebra lineal de Friedberg, Insel y Spence, la definición de span (pg- $30$ ) se da como:

Dejemos que $S$ sea un subconjunto no vacío de un espacio vectorial $V$ . El span de $S$ , denotado por span $(S)$ es el conjunto que contiene todas las combinaciones lineales de vectores en $S$ . Por comodidad, definimos span $(\emptyset)=\{0\}$ .

En Álgebra lineal de Hoffman y Kunze, la definición de span (pg- $36$ ) se da como:

Dejemos que $S$ sea un conjunto de vectores en un espacio vectorial $V$ . El subespacio abarcado por $S$ se define como la intersección $W$ de todos los subespacios de $V$ que contienen $S$ . Cuando $S$ es un conjunto finito de vectores, $S = \{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n \}$ simplemente llamaremos $W$ el subespacio abarcado por los vectores $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ .

No soy capaz de entender completamente la segunda definición. ¿Cómo relaciono el "conjunto de todas las combinaciones lineales" y la "intersección"? $W$ de todos los subespacios"? Por favor, ayuda.

Gracias.

Answer 1

Recordemos que un subespacio, por definición, es cerrado con respecto a la suma de vectores. Esto significa que todo subespacio que contenga $S$ contiene necesariamente toda combinación lineal de elementos de $S$ . A su vez, la intersección de todos estos subespacios es exactamente el conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores en $S$ .

Answer 2

Dejemos que $${\alpha _1},...,{\alpha _n} \in V\;$$ entonces definimos el espacio abarcado por $${\alpha _1},...,{\alpha _n}$$ como $$S\left( {{\alpha _1},...,{\alpha _n}} \right) = \left\{ {\sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}{\alpha _i}\;|\;{c_i} \in \mathbb{R}} } \right\}$$ que es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de este subespacio.

Este conjunto es un subespacio de V $$S\left( {{\alpha _1},...,{\alpha _n}} \right) \subset V$$

La propiedad de intersección dice que la intersección de subespacios en V es a su vez un subespacio de V

Entonces podemos definir S como una intersección de una familia arbitraria de subespacios de V que contienen a S $$S\left( {{\alpha _1},...,{\alpha _n}} \right) = \mathop \cap \limits_{m \in F} {W_m}$$

Answer 3

Adelante : Consideremos la primera definición de tramo. Demostraremos que implica la segunda definición de span.

Teorema 1 : La extensión de cualquier subconjunto $S$ de un espacio vectorial $V$ es un subespacio de $V$ . Además, cualquier subespacio de $V$ que contiene $S$ también debe contener span de $S$ . (Remitido por Friedberg)

Prueba : Este resultado es inmediato si $S=\phi$ porque $span(\phi)=\{0\}$ que es un subespacio que está contenido en cualquier subespacio de $V$ .

Si $S\neq \phi$ entonces $S$ contiene un vector $z$ . Así que, $0z=0$ . Por lo tanto, $0 \in span(S)$ . Sea $x,y \in span(S)$ . Entonces $\exists$ vectores $u_1,u_2,...u_m,v_1,v_2,...v_n$ y escalares $a_1,a_2,...a_m,b_1,b_2,...b_n$ tal que $x=a_1u_1+a_2u_2+...+a_mu_m$ y $y=b_1v_1+b_2v_2+...+b_nv_n$

Entonces, $x+y=a_1u_1+a_2u_2+...+a_mu_m+b_1v_1+b_2v_2+...+b_nv_n$ y para cualquier escalar $c$ , $cx=(ca_1)u_1+(ca_2)u_2+...+(ca_m)u_m$ que son claramente combinaciones lineales de los vectores en $S$ . Así, $x+y,cx \in span(S)$ es decir $span(S)$ es un subespacio de $V$ .

Ahora dejemos que $W$ denota cualquier subespacio $V$ que contiene $S$ . Si $w\in span(S)$ entonces $w=c_1w_1+c_2w_2+...+c_kw_k$ para algunos vectores $w_1,w_2,...w_k \in S$ y algunos escalares $c_1,c_2,...c_k$ . Desde $S \subseteq W$ tenemos $w_1,w_2,...w_k \in W$ . Desde $W$ es un subespacio de $V$ , la suma y la multiplicación escalar es cerrada en $W$ . Por lo tanto, $w=c_1w_1+c_2w_2+...+c_kw_k \in W$ . Desde $w$ es cualquier vector arbitrario en $span (S)$ que pertenece a $W$ Por lo tanto $span(S) \subseteq W$ .Q.E.D.

Dado que cualquier subespacio de $V$ que contiene $S$ también debe contener span de $S$ por lo que la intersección $W$ de todos los subespacios de $V$ que contienen $S$ nos da $span(S)$ .Q.E.D.

Converse : Ahora consideraremos la segunda definición de span y demostraremos que implica la primera definición de span.

Dejemos que $S = \{w_1,w_2,...,w_k\}$ sea un conjunto de vectores en un espacio vectorial $V$ . Entonces $span(S)=\cap_i W_i$ , de tal manera que $S \subseteq W_i$ y $W_i$ es el subespacio de $V$ para todos $i$ .

Como la intersección de una colección de subespacios es también un subespacio, por tanto $span(S)$ es un subespacio de $V$ .

Desde $S \subseteq W_i$ para todos $i$ y $w_1,w_2,...w_k \in S$ Por lo tanto $w_1,w_2,...w_k \in span(S)$

Desde $span(S)$ es un subespacio de $V$ por lo que es cerrado bajo adición y multiplicación escalar. Por lo tanto, $w=c_1w_1+c_2w_2+...+c_kw_k \in span(S)$ para los escalares $c_1,c_2,...c_k$ . Desde $w$ es cualquier vector arbitrario en $span (S)$ Por lo tanto $span(S)$ es el conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores en $S$ .Q.E.D.

Por lo tanto, ambas definiciones son equivalentes.

Answer 4

Puedes demostrar que estas dos definiciones son equivalentes. Sin embargo, lo más importante es entender la diferencia entre estas dos definiciones. De hecho, son dos representaciones diferentes de un mismo conjunto.

La primera definición es una algebraico representación de un conjunto. Sin embargo, la segunda es una geométrico representación del conjunto. Cada una de estas representaciones puede ser útil para demostrar teoremas.

Las representaciones algebraicas y geométricas de conjuntos son muy comunes en matemáticas. He aquí otro ejemplo para definir el casco convexo de un conjunto $S$ . Tenemos dos definiciones para el casco convexo de un conjunto $S$ :

Definición 1: Casco convexo de un conjunto $S$ es el conjunto de todos los puntos que pueden representarse como combinación convexa de puntos finitos en $S$ .

Definición 2: Casco convexo de un conjunto $S$ es la intersección de todos los semiespacios que contienen $S$ .

Recuerda que la primera definición es una representación algebraica de un conjunto. Sin embargo, la segunda es una representación geométrica.

Answer 5

Dejemos que $S$ sea un subconjunto no vacío de un espacio vectorial $V$ . El conjunto de todas las combinaciones lineales de conjuntos finitos de elementos de $S$ se llama tramo lineal de $S$ y se denota por $L(S)$ .