Inductiva que $k!<k^k$, $k\geq 2$ de la prueba.

Question

Llame a $P(k): k!<k^k$ $k\geq 2$
Prueba con 2, y es verdad ($2<4$).

Suponga que $P(k)$ es cierto para algunos $k\geq2$.

A continuación, mostrar que $P(k+1)$ es cierto.

$P(k+1): (k+1)!<(k+1)^{k+1}$

Ministep: $(k+1)!=k!(k+1)$
Ministep: $(k+1)^{k+1}=(k+1)^{k}(k+1)$

$k!(k+1)<(k+1)^{k}(k+1)$

Puedo sacar que (k+1) y lo llaman un día? Que hará $k!<(k+1)^{k}$.

Ya estamos suponiendo que $k!<k^k$, para algún entero $k\geq 2$, y creo que no necesito demostrar que $k^{k}<(k+1)^{k}$. Quiero decir, supongo que podría ir a demostrar que como bien, pero vamos a suponer por el momento que no tengo. Puesto que estamos suponiendo que el original $P(k)$ es cierto, yo debería ser capaz de escribir $k!<k^{k}<(k+1)^{k}$ derecho? Que la prueba de la $k+1$ de los casos. Es esta la manera correcta de ir sobre las cosas? Parece demasiado fácil, pero tiene sentido.

Gracias por la confirmación y/o señalar errores!

Answer 1

Yo debería ser capaz de escribir $k!<k^{k}<(k+1)^{k}$ derecho?

Tipo de. La parte clave, que suena como usted lo llama "demasiado fácil, es" darse cuenta de que puede utilizar $k^k<(k+1)^k$ en el contexto de la prueba; es decir, esta comprensión hace que sea posible llegar fácilmente desde el lado de la mano izquierda de lo que usted necesita demostrar a la mano derecha. Sin embargo, me animo a echar un vistazo a este post sobre cómo escribir una clara inducción de la prueba. La prueba no es tan clara como podría ser con la barra lateral "ministeps," el hecho de que usted nunca mencionó a donde se utiliza la hipótesis inductiva, etc. Si fueras mi alumno, entonces yo sería probablemente darle un 8/10. Mi punto en contestar es proporcionar lo que yo creo, en mi humilde opinión, es una buena forma de escribir la prueba. Espero te sirva de ayuda.

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Reclamo: Para $n\geq 2, n\in\mathbb{Z}, n!<n^n$.

Prueba. Para $n\geq 2, n\in\mathbb{Z}$, vamos a $P(n)$ denotar la declaración de $$ P(n) : n!<n^n. $$ Caso Base ($n=2$): $P(2)$ dice que $2!=2<4=2^2$, y esto es cierto.

Inductivo paso $P(k)\to P(k+1)$: Corregir algunos $k\geq 2$, y se supone que $$ P(k) : \color{blue}{k!<k^k} $$ sostiene. Para ser mostrado es que $P(k+1)$ sigue donde $$ P(k+1) : \color{verde}{(k+1)!<(k+1)^{k+1}}. $$ Comenzando con el lado izquierdo de $P(k+1)$, \begin{align} \color{green}{(k+1)!} &= (k+1)\cdot \color{blue}{k!}\tag{by definition}\\[0.5em] &< (k+1)\cdot\color{blue}{k^k}\tag{by %#%#%, the ind. hyp.}\\[0.5em] &< (k+1)(k+1)^k\tag{since %#%#%}\\[0.5em] &= \color{green}{(k+1)^{k+1}},\tag{by definition} \end{align} terminamos en el lado derecho de la $P(k)$, completando el paso inductivo.

Por inducción matemática, la declaración de $k<k+1$ es verdadera para todos los enteros $P(k+1)$ donde $P(n)$. $n$

Answer 2

Tienes razón, pero me gusta pensar de otra manera.

Asumir es verdad $P(k)$ que significa eso $k \geq 2$ $ $$k! < k^k$

Ahora se multiplican ambos lados de la desigualdad por $k+1$

Conseguimos que $k!(k+1) < k^k(k+1)$.

Ahora sabemos que $k!(k+1) = (k+1)! = $ lado izquierdo de la desigualdad

y también sabemos que $k^k(k+1) < (k+1)^k(k+1) = (k+1)^{k+1} $

Y así tienes $$(k+1)! < k^k(k+1) < (k+1)^k(k+1) = (k+1)^{k+1}$ $

Es algo más fácil de leer a través de este

Answer 3

También se puede ver que $$\begin{align} & k! = 1 \cdot 2 \dotsb k\\& k^k = k \cdot k \dotsb k\end{align}$$ y es obvio que $k! < k^k$. También puede activar esta intuición en un muy formal de inducción de la prueba. Pero para hacer esto usted necesita para recoger el derecho de inducción hipótesis.

Teorema: Para todos los $r, k \in \mathbb{Z}^+$ si $1 < r \leq k$$r! < k^r$.
Prueba: Por inducción sobre $r$.
Caso Base $r = 1$: $r! = 1 < k = k^r$.
Inductivo caso: suponemos $r! < k^r$ (la hipótesis inductiva en algunos $r$). Procedemos a verificar que la hipótesis es verdadera para $r+1$. Si $r+1 \leq k$ entonces tenemos que $r!(r+1) < k^r \cdot k$ o en otras palabras $(r+1)! < k^{r+1}$. Si $r+1>k$, entonces no nos importa. De esta forma se comprueba la hipótesis inductiva para $r+1$.
QED

Corolario: Tome $r = k$.

Answer 4

Ambas expresiones son un producto de $k$ factores. Es fácil ver que en $k^k$, cada uno de los factores es mayor que el de los factores de $k!$.

Entiendo que usted está buscando para una prueba inductiva, pero ninguna prueba es trivialmente inductivo.

Suponga $(k-1)!<(k-1)^{k-1}$. Ahora tengo que implicar $k!<k^k$. Desde $k!<k^k$, como se explicó anteriormente, me he hecho el paso de inducción. No importa que usted no ve la conexión lógica. Todavía formalmente y lógicamente cierto que $P(k-1)\implies P(k)$, ya que el $P(k)$'s la verdad puede ser establecida de forma independiente, de forma rápida.