Sabemos que cuando $q$ es un primo $1(\text{mod } 4)$ entonces $$ \sum_{R_i}R_i = q(q-1)/4, $$ donde $R_i$ son todos los residuos cuadráticos $\text{mod } q$ . Tenía curiosidad por saber si existe una fórmula similar (o algún tipo de fórmula) cuando $q$ es un primo $3(\text{mod } 4)$ . Gracias.
Respuestas
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Sí, existe una fórmula, aunque no tan sencilla: la suma es $$ \frac12 \left( {q \choose 2} - \frac2w qh \right), $$ donde $h$ es el número de clase del campo imaginario cuadrático ${\bf Q}(\sqrt{-p})$ y $w$ es el número de raíces de la unidad en ese campo, de modo que el factor $2/w$ es sólo $1$ excepto $q=3$ cuando $2/w = 1/3$ .
Se obtiene escribiendo la suma de los residuos como $\frac12 \sum_{r=1}^{p-1} (1+(r/p)) r$ donde $(r/p)$ es el símbolo de Legendre. El $\sum_r r$ parte de esto da $q \choose 2$ y la fórmula $-2qh/w$ para la $\sum_r (r/p) r$ parte es clásica (el factor $2/w$ surge a través del fórmula del número de clase de Dirichlet, véase por ejemplo el $d<0$ parte de ecuación (2) en MathWorld "Página "Número de clase ).
[La fórmula para $q \equiv 1 \bmod 4$ es simple porque en ese caso la identidad $(r/p) = (-r/p) = ((p-r)/p)$ produce $\sum_{r=1}^{p-1} (r/p) r = 0$ por simetría].
user15381
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Este es un comentario demasiado largo para caber en el formato habitual. Para cualquier $k$ denotemos por $r_k$ el resto de la división de $k^2$ por $q$ . Entonces , la suma que estamos considerando es $S=\displaystyle\sum_{k=1}^{2b+1} r_k $ donde $b$ se define por $q=4b+3$ . Dejando a un lado el caso $q=3$ vemos que $b$ no puede ser divisible por $3$ .
Obsérvese que el módulo $q$ se tiene
$$ S =\sum_{k=1}^{2b+1} r_k \equiv \sum_{k=1}^{2b+1} k^2 =\frac{(2b+1)(2b+2)(4b+3)}{6}=q \frac{(b+1)(2b+1)}{3} \equiv 0 \ ({\sf mod}\ q). $$
Así que $S$ es múltiplo de $q$ . Si ponemos $T=\frac{S}{q}$ parece que no hay una fórmula para $T$ .
