¿El producto de dos matrices semidefinidas positivas es semidefinido positivo?

Question

Si $X$ y $W$ son matrices reales, cuadradas, simétricas, semidefinidas positivas y de la misma dimensión, hace $XW + WX$ tiene que ser semidefinido positivo?

Esto no es una tarea.

Answer 1

Para responder a la segunda parte de su pregunta, la matriz $XW+WX$ no tiene por qué ser semidefinido positivo. Sea $$X = \left(\begin{array}{rr} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right).$$ Dejemos que $$W = \left(\begin{array}{rr} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{array} \right).$$ Dejemos que $$v = \left(\begin{array}{r}0\\1\end{array}\right). $$

Entonces $$v^T XW v + v^T W X v = \big( \ 2 \ 1 \ \big) \left(\begin{array}{rc}-2 \\1\end{array}\right) + \big(\,-\!2 \ 1 \ \big) \left(\begin{array}{c} 2 \\1\end{array}\right) = -6 < 0. $$

Answer 2

Si $A, B$ son reales, pos y simétricos, entonces $A=A^{1/2}A^{1/2}$ y el rastro de $AB$ es el rastro de $A^{1/2}A^{1/2}B$ que es la huella de $A^{1/2}BA^{1/2}$ que es una matriz semidefinida positiva. Por lo tanto, la traza de $AB$ no es negativo.

Answer 3

$$XW \sim ZX\underbrace{Z^{-1}Z}_IWZ^{-1} = DZWZ^{-1}$$

Desde $X$ es simétrica, cuadrada y semidefinida positiva, $D$ es diagonal para algún $Z$ y tiene elementos no negativos.

$ZWZ^{-1} \sim W$ tiene traza positiva (la traza es invariante a la similitud y $W$ es cuadrado positivo y semidefinido). No puede haber valores negativos en la diagonal para $W$ y a continuación se muestra por qué.

Dejemos que $\mathbf{e}_i$ sea el vector unitario del índice $i$ que es el mismo índice que el supuesto valor de la diagonal negativa en $W$ (o cualquier similitud con $W$ ). Entonces $\mathbf{e}_i^\top W \mathbf{e}_i = W_{ii} < 0$ lo que contradice que $W$ es semidefinido positivo.