Raíz cúbica de un binomio

Question

El cubo de un cierto binomio es $8y^3-36y^2+54y-27$ . Encuentra el binomio.

Sé que $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ y que $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ pero no sé cómo ir más allá...

Answer 1

Supongamos que el grado de $a$ es mayor que el grado de $b$ para que su expansión se ordene en potencias descendentes de $y$ . Entonces podemos hacer coincidir los términos de mayor y menor grado: $$ a^3 = 8y^3 \implies a = 2y \\ b^3 = -27 \implies b = -3 $$ Por último, verifique que nuestra suposición es correcta expandiendo $(2y - 3)^3$ y comprobar que coincide con el polinomio original.

Answer 2

Piensa en cómo sería la raíz cúbica y cómo puedes representar algebraicamente su cubo. ¿Qué tipo de binomio, al ser elevado al cubo, daría lugar a un cúbico en una variable?

Answer 3

Basta con mirar las dos últimas legislaturas. $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\tag{1}$$ y del binomio $$8y^3-36y^2+54y-27\tag{2}$$

Vemos que $$\begin{cases}8y^3=a^3\\27=b^3\end{cases}\tag{3}$$

Resolviendo, vemos que $a=2y$ y $b=3$ . Así que los factores del binomio en $$(2y-3)^3\tag{4}$$

Ampliar el alcance $(4)$ para comprobarlo, obtenemos: $$8y^3-27-3(2y)^2(3)+3(2y)(9)\tag{5}\\=8y^3-9\cdot4y^2+54y-27\\=8y^3-36y^2+54y-27$$

Que es igual a $(2)$ .

Answer 4

Podemos ver que el patrón de más y menos sigue el $(a-b)^3$ expansión. A continuación, basta con igualar los coeficientes de dos términos cualesquiera:

$8y^3 = a^3 \implies a = 2y$

$27 = b^3 \implies b = 3$

Así que la raíz cúbica es $(2y-3)$