Comprensión de este patrón detrás de la secuencia de Fibonacci

Question

Para ser honesto, soy muy malo en matemáticas, sin embargo, cuando hasta las 6 de la mañana me gusta hacer las cosas al azar durante toda la noche para mantenerme ocupado. Esta noche, comencé a jugar con la secuencia de Fibonacci en el lenguaje de programación Python. Entiendo que la secuencia de Fibonacci es sólo la adición de los dos números anteriores juntos para producir su siguiente valor, de modo que he definido una función para escupir la secuencia de hasta el 200 número como tal,

def fib(n):
    a, b = 0, 1
    i=1
    while i < 200:
        print("ITERATION: " + str(i))
        a, b = b, a + b
        print(a)
        i += 1
print(fib(1))

Lo que me pareció muy interesante, es un patrón que me encontré al sumar la cantidad total de números antes de que la secuencia añadido el siguiente dígito. (vea la figura A.)

IMAGEN A:

a partir de ahí, he añadido el número de los "sets" y el patrón surgido.(vea la figura B.)

IMAGEN B:

Este patrón continuó, fui hasta el 22 de "conjunto" de los números y el patrón entero fue así:

1 2 1 3 1 4 1 5 1 2 1 4 1 4 1 3 1 4 1 3 1 4

Me pareció interesante que el agregar los números de un dígito de forma secuencial, ya sea de 4 o principalmente, 5 enteros y cómo el patrón general que surgió de los "conjuntos" parecían ser menos estable después de las 8 de conjunto de lo que fue, irónicamente, 5;

1 2 1 3 1 4 1 5

perdóname si esto parece obvio, o tonta, pero como he dicho, soy bastante malo en matemáticas. ¿Alguien puede explicar por qué este patrón emerge y un poco más en profundidad sobre lo que la secuencia de fibonacci puede ser utilizado para?

Answer 1

La relación entre números de Fibonacci pronto se establece en un número cercano al $1.618$. Este número se llama proporción áurea.
Se obtiene un dígito adicional cada vez que los números de Fibonacci se han incrementado en un factor de 10.
$1.618^4=6.854$ and $1.618^5=11.09$
Una vez que la relación se establece, se Obtén al menos un dígito extra cada cinco números. A veces el dígito extra llega más pronto, y sólo cuatro números con muchos dígitos.

Answer 2

Bonito observación!

He aquí una explicación:

El $n$-ésimo número de Fibonacci $F_n$ es asintóticamente igual a $\varphi^n/\sqrt5$ donde $\varphi=(1+\sqrt5)/2$. Esto implica que el número de dígitos en $F_n$, que es esencialmente $\log_{10} F_n$, es asintóticamente igual a $n\,\log_{10}\varphi\approx0.2090\,n$. Como consecuencia, hay o $4$ o $5$ números de Fibonacci con $d$ dígitos decimales, porque $1/0.2090\approx4.785$.

[adaptado de Wikipedia]