¿Qué característica de una matriz de causas $\|e^{tA}\|_2$ a oscilar como $t\rightarrow\infty$?

Question

¿Qué característica de una matriz de causas $\|e^{tA}\|_2$ a oscilar como $t\rightarrow\infty$?

Es de lo mejor puedo topar con que $A=bi\cdot M$ $b$ un cero real número y $M$ un cero idempotent matriz, ya que en este caso tenemos: $$\|e^{tA}\|_2 = \left\|\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(tbi)^k\cdot M^k}{k!}\right\|_2= \left\|I+M\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(tbi)^k}{k!}\right\|_2= \|I+Me^{tbi}\|_2,$ $

es evidente que oscila. Sin embargo no es claro para mí que se trata de la única manera de obtener la oscilación, y si lo es, no veo cómo probarlo.

Answer 1

Más matrices no-normal cuyos valores propios son puro imaginario tendrán esta característica. (Vía Normal $AA^* = A^*A$.)

Por ejemplo, $A = P D P^{-1}$ $P$ Dónde está una matriz de $2\times 2$ invertible que no es un múltiplo de una matriz unitaria y $D = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$: luego $$ e^{tA} = P \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} P^{-1} = \cos(\theta)I + \sin(\theta) B ,$ $ $B = P D P^{-1}$.

E.g. $A = \begin{bmatrix} 0 & \lambda-1 \\ \lambda+1 & 0 \end{bmatrix}$ if $-1 < \lambda < 1$.