Supongamos que $B$ es el movimiento browniano estándar, cómo calcular $$\mathbb{P}\left((\max_{0\le s\le t}B(s))-B(t)<a\right)$$ Intenté $B(t)-B(s)=B(t-s)$ , $$P(B(t-s)>-a)=\int_{-a}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}e^{-\frac{y^2}{2(t-s)}}dy$$ Y luego lo integro a través de $s$ es decir $$\mathbb{P}\left((\max_{0\le s\le t}B(s))-B(t)<a\right)=\int_{0}^{t}\int_{-a}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}e^{-\frac{y^2}{2(t-s)}}dy ds$$ ¿Tengo razón en este proceso? Soy novato en procesos estocásticos, y no sé si estas manipulaciones son legales. Además, no sé cómo integrar estas cosas. ¡Gracias por vuestra atención!
Respuesta
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Para esto necesitas un par de trucos.
Primero utiliza el hecho de que si $s\mapsto B(s)$ es un movimiento browniano, entonces $s\mapsto B(t-s)-B(t)$ también es un movimiento browniano. Por lo tanto
$$\mathbb{P}\left((\max_{0\le s\le t}B(s))-B(t)<a\right)= \mathbb{P}\left(\max_{0\le s\le t}B(s)<a\right)$$
Ahora podemos utilizar el principio de reflexión.
Sea $T_a$ sea el primer tiempo de impacto de $a$ y establece $$B_a(s) = \begin{cases}B(s) &\mathop{ if } s\leq T_a \\ a-B(s) &\mathop{ if } s\geq T_a \end{cases}$$
Ahora $B_a(s)$ también es un movimiento browniano y $\max_{0\le s\le t}B(s)<a$ si y sólo si $B(t) < a$ y $B_a(t) < a$ .
A medida que los acontecimientos $B(t) \geq a$ y $B_a(t) \geq a$ son mutuamente excluyentes (hasta un evento de probabilidad $0$ ) y tienen idénticas probabilidades tenemos que
$$\mathbb{P}\left((\max_{0\le s\le t}B(s))-B(t)<a\right)= 1 - 2\mathbb P\left( B(t)\geq a\right).$$
Lo cual es tan fácil como $B(t)$ se distribuye normalmente.
