¿Cómo puedo evaluar $\int \frac {x+4}{ 2x+6 } dx $?

Question

$$\int \frac {x+4}{ 2x+6 } dx$$

Este es un problema de Khan Academy que estaba leyendo sobre como solucionar cuando accidentalmente hace clic en siguiente y perdió la explicación. Estuve leyendo algo acerca de que es una forma inteligente para dividir la función para que sea más fácil de integrar. ¿Puede alguien por favor explicarme esto?

Ninguna solución real, por favor. Quiero hacerlo por mí mismo.

Answer 1

Consejo: Aviso $$\int\frac{x+4}{2x+6}dx$$ $$=\int\frac{x+4}{2(x+3)}dx$ $ $$=\frac{1}{2}\int\frac{x+4}{x+3}dx$ $ $$=\frac{1}{2}\int\frac{(x+3)+1}{x+3}dx$ $

$$=\frac{1}{2}\int\left(1+\frac{1}{x+3}\right)dx$$

Answer 2

Lo que tienes que pensar es así. $$\int \frac{x+4}{2x+6} dx$$ then factor the bottm to get $2(x+3) $ then pull one half out the integral to get $$ \frac{1}{2}\int \frac{x+4}{x+3} dx$$. here is the cleverness rewrite $ x % + 4 $ as $x + 3 + 1$ then simplify to get $$ \frac{1}{2}\int 1+ \frac{1}{x+3} dx$ $ espero que ayude.

Answer 3

Después de ver el $ 2 x+ 6 $ en el denominador y luego el momento que ves $x+4$ en el numerador debe ser doblado y a la mitad como...

$$\int\frac{x+4}{2x+6}dx$$

$$=\frac12 \int\frac{2 x+8}{(2 x + 6 )}dx$$

$$=\frac{x}{2}+ \int\frac{dx}{2 x + 6}$$

$$=\frac{x}{2}+ \frac12 \int\frac{dx}{ x + 3},$$

puede ser continuado.

Answer 4

Por regla de la cadena y el Teorema fundamental del cálculo tenemos $$ \int_{x} \frac{x+4}{2x+6} = \frac{1}{2} \int_{x} \frac{2x+8}{2x+6} = \frac{1}{2} \int_{x} \left (1 + \frac{1}{x+3} \right) = \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\int_{x}\frac{D(x+3)} {x + 3} + \text{some constante} \\ = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\ln | x + 3 | + \text{some constante}. $$