¿cada campo de característico 0 tiene un anillo discreto de la valuación?

Question

¿Cómo podemos demostrar que cada campo de característica 0 tiene al menos una Discreta Valoración Anillo?

Mi esfuerzo: Vamos a $K$ ser un campo de característica 0. A continuación, $\mathbb{Z}$ es un sub-anillo de $K$. Deje $p$ ser una de las primeras. Por el Teorema 10.2 en Matsumura, existe una valoración anillo de $R$ $K$ $\mathbb{Z} \subset R$ $m_R \cap \mathbb{Z}=p \mathbb{Z}$ donde $m_R$ es el ideal maximal de a $R$. Si yo pudiera demostrar que $R$ es Noetherian, o el director ideal de dominio, entonces yo estaría hecho por el Teorema 11.1 de Matsumura. Pero estoy teniendo un tiempo difícil probar esto y, además, me parece que esta no es la dirección correcta.

Edit: Esta pregunta fue motivada por la observación de Matsumura, el Conmutativa Anillo de la Teoría de la p. 79, que habla de "Vamos a $K$ ser un campo y $R$ un DVR de $K$..." Como las respuestas de señalar, un campo que no tienen necesidad de un DVR. Entonces, ¿por qué habría de $K$ tienen un DVR en Matsumura, el comentario?

Answer 1

La afirmación no es verdadera: $\mathbb{C}$ no contiene discreta valoración anillo de tener el campo de fracciones de $\mathbb{C}$, debido a una valoración de $\mathbb{C}$ debe tener un múltiplo de valor de grupo. En particular, este grupo de valor no puede ser $\mathbb{Z}$.

La afirmación es verdadera, por ejemplo, para cada finitely generado campo de la extensión de $\mathbb{Q}$.

Bosquejo de la prueba: vamos a $L/K$ ser finito, la extensión de los campos, $v$ una valoración en $K$ $w$ una prolongación de $v$$L$. A continuación,$(w(L^\times ):v(K^\times ))\leq (L:K)$. En particular: si $v$ es discreta, a continuación, $w$ es discreto.

Deje $K/\mathbb{Q}$ ser un finitely generado extensión. Puesto que todas las valoraciones en $\mathbb{Q}$ son discretos que se hacen si $K/\mathbb{Q}$ es algebraico.

Si la extensión no es algebraica es una extensión finita de una función racional campo $\mathbb{Q}(T)$ en un número finito de variables $T=\{t_1,\ldots ,t_n\}$. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que las valoraciones de $\mathbb{Q}$ poseen un discreto prolongación a $\mathbb{Q}(T)$. Tal prolongación es el Gauss prolongación de una valoración $v$. Se asigna a un polinomio mínimo de los valores de sus coeficientes.

Motivados por el señor.bigproblem la respuesta que me agregue el siguiente:

Un campo de $K$ contiene un discreto anillo de valoración $O$ con campo de fracciones de $K$ si y sólo si $K$ es la fracción de campo de un noetherian dominio correctamente contenida en $K$.

Bosquejo de la prueba: la implicación $\Rightarrow$ es obvia. Por otro lado, si $R$ es un noetherian de dominio, integral, cierre $S$ $K$ por el Mori-Nagata-teorema tiene la propiedad de que todas las localizaciones $S_p$ a los primos de altura $1$ son discretos valoración de los anillos. Tenga en cuenta que $S$ sí no necesita ser noetherian.

Answer 2

No tengo el texto, por lo que no puedo estar seguro, pero cuando leí esa frase, tomar la frase completa como ser una hipótesis para lo que viene después. Así que lo que viene a continuación sólo pretende aplicar a los campos de valores discretamente y no a campos arbitrarios.

Answer 3

Muy bien hecho Hagen! Me gustaría añadir un dato más. La razón por la $\mathbb{C}$ no tiene (discreto) valoración anillo cuyo cociente de campo también es $\mathbb{C}$ es (como Hagen señalado para el DVR, el valor del grupo es divisible) que no poseen un (Noetherian) dominio cuyo cociente de campo es igual a $\mathbb{C}$. De hecho, uno tiene la afirmación más general:

Un campo de $K$ (no necesariamente char 0) posee un (discreto) valoración anillo cuyo cociente de campo es igual a $K$ fib contiene al menos una apropiada (Noetherian) subdominio $R$ cuyo cociente de campo es igual a $K$.