¿En $\ell^p$, si un operador conmuta con shift izquierdo, es continua?

Question

Nuestro profesor de poner esta en nuestro examen, llevándolo a cabo a lo largo del camino, porque aunque parecía demasiado complicado. Todavía no se perdió casi una hora en ella y no puedo dejar de pensar en una solución.

Lo que tenemos: El desplazamiento a la izquierda en $L : \ell^p \to \ell^p$ $$L(x_1,x_2,x_3,\ldots) = (x_2,x_3,\ldots)$$

y otro operador $T$. Debemos probar que si $TL=LT$, $T$ es continua.

Habíamos definido subespacios $$ X_k = \{ (x_i) : x_i = 0 \text{ for } i>k \} $$ y visto que estas son las $T$-invariantes y las restricciones de $T : X_k \to X_k$ continua (obvio). La sugerencia fue utilizar cerrado-gráfico-teorema para demostrar que $T$ es continua. Por supuesto, podemos truncar cualquier secuencia para luego mentir en $X_k$, sin embargo no veo cómo la convergencia de las secuencias truncadas se refiere a la convergencia de las imágenes en $T$.

Cualquier ayuda por favor?

Answer 1

La afirmación es falsa, ya que he descubierto aquí. Ya que no todo el mundo tiene acceso al papel, que me proporcione un resumen del argumento:

Vamos $R=\mathbb C[t]$, $L$ el operador de desplazamiento a la izquierda, y a la vista de $\ell^p$ $R$- módulo por la definición de $t\cdot x=Lx$. Deje $X=\sum \ker L^i \subset \ell^p$ ser el subespacio de, finalmente, cero secuencias.

Lema: Dado un PID $P$ $P$- módulo de $M$ es inyectiva si y sólo si es divisible, es decir, si para cada $p\in P$, $pM=M$.

Lema: $X$ es un inyectiva $R$-módulo.

Prueba. Desde un PID es un UFD, podemos comprobar la divisibilidad (y, por tanto, de inyectividad) el uso de elementos irreductibles. Más de $R$, los elementos irreductibles son lineales, polinomios. Por lo tanto, tenemos que mostrar que si $x$ es una final, null secuencia y $\lambda\in \mathbb C$, existe un $y$ tal que $Ly-\lambda y=x$. Esto es sencillo.

Debido a $X$ es inyectiva, la inclusión $X\subset \ell^p$ divisiones, existe una (no la única) mapa de proyección $P:\ell^p\to X$. Dado que este es un mapa de $R$-módulos, los viajes con $L$.

Lema: $P$ no es continua.

Prueba. Supongamos que $P$ eran continuas. A continuación, $X=\ker (P-\operatorname{Id})$ es cerrado. Sin embargo, esto es absurdo, ya que cada una de las secuencias se puede aproximar por un número finito de términos (es decir, $X$ es un denso adecuada subespacio).