Límite de la derivada de una función

Question

$f(x)$ es una función diferenciable en la línea real tal que el $ \lim_{x\to \infty } f(x) =1 $ y $ \lim_{x\to \infty } f'(x) = s $. Entonces

1. $s$ debe ser $0$
2. no es necesario $s$ $0$ $|s| < 1$
3. $s > 1$
4. $s < -1$

$f(x)$ Está delimitado necesita no significa ni se aumenta ni se disminuye. De modo que el derivado necesita no ser $0$.

Answer 1

Por el teorema del valor medio tenemos la siguiente ecuación $$f(x + 1) - f(x) = f'(\xi)$$ where $x # < \xi < x + 1 $. The LHS of the above equation tends to $1 - 1 = 0 $ as $x \to \infty$ and RHS tends to $s$ as $x \to \infty$. Hence $s$ must be $0$.

Answer 2

Desde $$\lim_{x\to\infty}f'(x)=s$ $

Eso significa que para todas las $\epsilon>0$, existe $R$ y $\delta>0$ % s.t. $$\bigg|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-s\bigg|<\epsilon$$ cuando $x>R$ y $h<\delta$.

En otras palabras, $$s-\epsilon<\frac{f(x+h)-f(x)}{h}<s+\epsilon$ $

Ahora Supongamos que $s\ne 0$, luego fije el $\epsilon<|s|/2$ y $h=\delta/2$, tenemos $$\bigg|f(x+\delta/2)-f(x)\bigg|>\frac{|s|\delta}{4}$ $

Sin embargo, desde %#% $ de #% sabemos que existen $$\lim_{x\to\infty}f(x)=1$ así que $R'$ $ cuando $$\bigg|f(x)-1\bigg|<\frac{|s|\delta}{8}$.

$x>R'$, Tenemos %#% $ #% que es una contradicción.

Por lo tanto, $x>\max(R,R')$.

Answer 3

Si el derivado de no acercarse a cero en el infinito, el valor de la función continuará cambiando (pendiente cero). Ya que sabemos que la función es una constante, la derivada debe ir a cero.

Sólo escoja un $|s| < 1,$ y dibujar lo que sucede como abajo la línea verdadera. Si $s \neq 0,$ la función no puede seguir siendo una constante.

Answer 4

Suponer que la tangente de $f(x)$ es dado por el $$g(x)=mx+k$$ where m is the slope. But $ m=\frac{dy}{dx}=f'(x)$

Tan % $ $$g(x)=f'(x)x+k$$x\rightarrow \infty$, sabemos que la asíntota es la línea horizontal $y=1$, y sigue ese % $ $$\lim_{x\rightarrow \infty} g(x)=1\\\lim_{x\rightarrow \infty}(f'(x)x+k) =1$

Para que esto sea cierto, debemos tener una forma indeterminada sobre el % de producto $f'(x)x$. $\lim_{x\rightarrow \infty} x=\infty$, Así que esto sólo puede suceder si $\lim_{x\rightarrow \infty} f'(x)=0$

Así, $s=0$.

Answer 5

Utilizando la definición de derivado, $$f'(x)_{\text{at } x\to \infty} = \lim_{x \to \infty} \lim_{h\to 0+} \frac{f(x+h) - f(h)}{h} $ $

Pero, desde $x \to \infty$, $(x + h) \to \infty$

Así, $$ \begin{align} f'(x) &= \frac{f(\to \infty) - f (\to \infty)}{h} \\ &= \frac{1-1}{h} \\ &= \frac 0 h \\ &= 0 \end{alinee el} $$

So, $s=0$.